[論文レビュー] Global existence and asymptotic behavior of classical solutions to a parabolic-elliptic chemotaxis system with logistic source on $\mathbb{R}^{N}$

Rachidi B. Salako, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2016

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ひとこと要約

本稿は、$ℝ^N$ 上のロジスティック成長を伴う放物型-放物型キモタクシス系に対して、古典解の大域的存在および有界性を確立し、初期データが正である場合に解が $t \to \infty$ の際に $a/b$ に一様収束することを証明している。また、compactly supported 初期データの場合は、有限の伝播速度を示すスプローディングを示し、下位および上位のスプローディング速度 $c_{\text{low}}^*$ と $c_{\text{up}}^*$ が明確に特徴づけられる。

ABSTRACT

In the current paper, we consider the following parabolic-elliptic semilinear Keller-Segel model on $\mathbb{R}^{N}$, \begin{equation*} \begin{cases} u_{t}= abla\cdot ( abla u-χu abla v)+a u -b u^2, \quad x\in\mathbb{R}^N,\,\, t>0\cr 0=(Δ- I)v+ u, \quad x\in\mathbb{R}^N,\,\, t>0, \end{cases} \end{equation*} where $ χ>0, \ a\ge 0,\ b> 0$ are constant real numbers and $N$ is a positive integer. We first prove the local existence and uniqueness of classical solutions $(u(x,t;u_0),v(x,t;u_0))$ with $u(x,0;u_0)=u_0(x)$ for various initial functions $u_0(x)$. Next, under some conditions on the constants $a, b, χ$ and the dimension $N$, we prove the global existence and boundedness of classical solution $(u(x,t;u_0),v(x,t;u_0))$ for given initial functions $u_0(x)$. Finally, we investigate the asymptotic behavior of the global solutions with strictly positive initial functions or nonnegative compactly supported initial functions. Under some conditions on the constants $a, b, χ$ and the dimension $N$, we show that for every strictly positive initial function $u_0(\cdot)$, $$\lim_{t o\infty} \sup_{x\in\mathbb{R}^N} \big[|u(x,t;u_0)-\frac{a}{b}|+|v(x,t;u_0)-\frac{a}{b}|\big]=0,$$ and that for every nonnegative initial function $u_0(\cdot)$ with non-empty and compact support ${ m supp}(u_0)$, there are $0c_{ m up}^*(u_0).$$

研究の動機と目的

• 放物型-放物型キモタクシス系にロジスティック源を伴う $ℝ^N$ 上での古典解の大域的存在および有界性を確立すること。
• 初期データが正である場合およびコンパクトに台を持つ場合の解の漸近的挙動を分析すること。
• コンパクトに台を持つ初期データを伴う解のスプローディング速度を特定し、下位および上位の閾値 $c_{\text{low}}^*$ と $c_{\text{up}}^*$ を同定すること。
• ロジスティック減衰が弱い場合に高次元で大域的解の存在が未解決であるという未解決問題を解決すること。

提案手法

• 適切な関数空間における初期データに対して、固定点法とシューディンガー推移法を用いて、古典解の局所的存在および一意性を証明する。
• $b > 2\chi$ および $N \geq 1$ の条件下で、エネルギー推定および最大原理の技法を用いて、大域的解の存在および有界性を確立する。
• 比較原理および移動波解析を用いて、コンパクトに台を持つ初期データのスプローディング速度の推定を行う。
• 下位および上位解の方法を適用し、補助的な常微分方程式を構築することで、長時間における解の挙動を評価する。
• KPP型方程式の理論および反応拡散方程式の解のスプローディング特性を用いて、漸近的スプローディングフロントを特徴づける。
• 背理法およびスケーリングされた解の長時間極限解析を用いて、移動座標系における均衡 $a/b$ への収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $a$, $b$, $\chi$, $N$ がどのような条件下で、ロジスティック源を伴う放物型-放物型キモタクシス系が $\u211d^N$ 上で大域的古典解を有するか？
• RQ2 初期データが正である場合、古典解の長時間における漸近的挙動は何か？
• RQ3 コンパクトに台を持つ初期データを伴う解は時間とともにどのように変化するか？ また、解フロントのスプローディング速度は何か？
• RQ4 スプローディング速度が明示的な下限 $c_{\text{low}}^*$ および上限 $c_{\text{up}}^*$ で特徴づけられるか？
• RQ5 条件 $b > 2\chi$ の下で、解が移動座標系において均衡 $a/b$ に一様収束するか？

主な発見

• 任意の正の初期関数 $u_0$ に対して、$\lim_{t\to\infty}\sup_{x\in\u211d^N}\big{|}|u(x,t;u_0)-\frac{a}{b}|+|v(x,t;u_0)-\frac{a}{b}|\big{|}=0$ が成り立ち、これは均衡 $a/b$ への一様収束を示している。
• 非負でコンパクトに台を持つ初期データに対して、$0 < c_{\text{low}}^*(u_0) \leq c_{\text{up}}^*(u_0) < \infty$ が存在し、任意の $c < c_{\text{low}}^*$ に対して $\lim_{t\to\infty}\sup_{|x|\leq ct}\big{|}|u(x,t;u_0)-\frac{a}{b}|+|v(x,t;u_0)-\frac{a}{b}|\big{|}=0$ が成り立つ。
• すべての $c > c_{\text{up}}^*(u_0)$ に対して $\lim_{t\to\infty}\sup_{|x|\geq ct}\big{(}u(x,t;u_0)+v(x,t;u_0)\big{)}=0$ が成り立ち、これはスプローディングフロントの外縁で完全な消滅を示している。
• スプローディング速度は有限かつ正であり、$c_{\text{up}}^*(u_0) \geq c_{\text{low}}^*(u_0)$ が成り立ち、両者とも初期データ $u_0$ に依存する。
• 収束の証明は、スケーリングによる極限プロファイルの構築と背理法に依拠しており、非定数極限が定数 $a/b$ でなければならないことを示し、結果として一様収束が得られる。
• この結果は $b > 2\chi$ の条件下で成り立ち、これは爆発を防ぎ、系を安定化させる十分なロジスティック減衰を保証する。