[論文レビュー] Global Existence and Compact Attractors for the Discrete Nonlinear Schrödinger equation

Nikos I. Karachalios, Athanasios N. Yannacopoulos|ArXiv.org|Mar 15, 2005

Nonlinear Photonic Systems参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、重み付き $ \ell^2 $ 空間における関数解析的手法を用いて、保存的および散逸的状態の両方において、離散非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）の解の時間全域的存在とコンパクトなグローバルアトラクターの存在を確立する。解はすべての時間において有界に保たれ、有限次元近似に対しても長期間の力学的挙動がコンパクトなアトラクターに閉じ込められることを示しており、結果は高次元格子および一般化された非線形性へと拡張可能である。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of solutions of discrete nonlinear Schrödinger-type (DNLS) equations. For a conservative system, we consider the global in time solvability and the question of existence of standing wave solutions. Similarities and differences with the continuous counterpart (NLS-partial differential equation) are pointed out. For a dissipative system we prove existence of a global attractor and its stability under finite dimensional approximations. Similar questions are treated in a weighted phase space. Finally, we propose possible extensions for various types of DNLS equations.

研究の動機と目的

• 離散非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）の時間全域的解の存在を確立し、モデルの適切な定式化を保証する。
• 散逸的状態におけるグローバルアトラクターの存在と構造を調査し、長期的漸近的挙動を捉える。
• 空間的に局在化した解（例えばソリトンやブレーター）を扱えるよう、重み付き列空間への結果の拡張を図る。
• 変分法および固定点法を用いて、保存的状態における定常波解を分析する。
• 高次元格子および非一様ポテンシャルまたは非線形性を有する一般化されたDNLSモデルへの拡張を提案する。

提案手法

• DNLSを、特に重み付き $ \ell^2 $ 空間における複素列空間上に無限次元力学系として定式化する。
• 半群理論および漸近的コンパクト性の議論を含む、無限次元力学系理論の技術を適用する。
• 有限格子における非自明な定常波の存在を示すために、離散版のマウンテンパス定理を用いる。
• 固定点議論とエネルギー推定を用いて、特定のエネルギー領域では非自明な定常波が存在しないことを示す。
• 解の一様な有界性を用いて、重み付き空間における半群の漸近的コンパクト性を確立する。
• 線形作用素 $ A = A_1 + \cdots + A_N $ の分解を仮定することで、高次元への一般化を図る。ここで $ B_j $ は有界で有限差分型の作用素である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性および散逸の存在下でも、離散非線形シュレーディンガー方程式はすべての時間にわたって解を有するのか？
• RQ2 無限次元の重み付き列空間における散逸的DNLSに対して、コンパクトなグローバルアトラクターが存在しうるか？
• RQ3 空間的に局在化した解（例えばソリトンやブレーター）は長期的力学的挙動にどのように影響を及ぼし、アトラクターに取り込まれるのか？
• RQ4 保存的DNLSにおいて、非自明な定常波解の存在または非存在を保証する条件は何か？
• RQ5 時間全域的解およびアトラクターに関する結果は、変数係数またはポテンシャルを有するより一般的なDNLSモデルおよび高次元格子へと拡張可能か？

主な発見

• 保存的および散逸的両状態におけるDNLS方程式に対して、解の時間全域的存在が証明され、連続的NLSとは異なり、解の爆発は発生しないことが確認された。
• 散逸的DNLSに対して、重み付き $ \ell^2_w $ 空間上にコンパクトなグローバルアトラクターが存在し、すべての有界集合を吸引し、長期的力学的挙動を捉えている。
• グローバルアトラクターは有限次元近似に対して安定であり、したがってその力学的挙動は切断された系を用いて効果的に解析可能である。
• 保存的状態では、有限格子上における非自明な定常波が離散マウンテンパス定理により存在することが示されたが、固定点議論を用いて特定のエネルギー領域ではその存在が否定された。
• 線形作用素の分解仮定のもとで、$ \mathbb{Z}^N $ 格子に対しても結果が拡張可能であり、空間次元が時間全域的解の存在を妨げないことが示された（連続的状態とは対照的）。
• 有界性および作用素の構造的条件を満たす限り、ポテンシャル、粘性項、変数係数を有するDNLSモデルへの一般化も本フレームワークで可能である。