[論文レビュー] Global Existence and Large Time Asymptotic Behavior of Strong Solutions to the Cauchy Problem of 2D Density-Dependent Navier-Stokes Equations with Vacuum

Boqiang Lv, Xiaoding Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、全空間 ℝ² における真空を伴う2次元密度依存型ナビエ＝ストークス方程式に対して、強解の大域的存在および大時間漸近挙動を確立する。初期密度にやや緩い減衰条件を課した場合、初期密度が真空を含むかコンパクトな台を持つ場合でさえ、任意の大規模な初期データに対し、一意的な大域的強解の存在を証明し、均質系と同一の速度および圧力勾配の減衰率を導出する。

ABSTRACT

We are concerned with the Cauchy problem of the two-dimensional (2D) nonhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations with vacuum as far-field density. It is proved that if the initial density decays not too slow at infinity, the 2D Cauchy problem of the density-dependent Navier-Stokes equations on the whole space $\mathbb{R}^2$ admits a unique global strong solution. Note that the initial data can be arbitrarily large and the initial density can contain vacuum states and even have compact support. Furthermore, we also obtain the large time decay rates of the spatial gradients of the velocity and the pressure which are the same as those of the homogeneous case.

研究の動機と目的

• 2次元非一様非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の真空を伴う大域的強解の存在という未解決問題を解消すること。
• 局所解理論を超えて、一般の初期データ（大規模データおよび真空状態を含む）に対し、大域的解の存在を拡張すること。
• 初期密度の減衰に関する最小限の仮定のもとで、速度および圧力の空間勾配の正確な大時間減衰率を導出すること。
• 真空および非有界な空間領域が存在する状況においても強解理論の有効性を確立し、有界領域における既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 無限遠における減衰を制御するため、重み関数 $\bar{x} = (e + |x|^2)^{1/2} \log^2(e + |x|^2)$ を用いた重み付きソボレフ空間における事前推定を用いる。
• 時間重み付きエネルギー推定を用いて、$\|\sqrt{\rho}u_t\|_{L^2}$, $\|\nabla u_t\|_{L^2}$, および $\|\nabla^2 u\|_{L^2}$ の一様な有界性を示し、局所解の継続法を適用する。
• 時間重み付きエネルギー推定に対してグローバルの不等式を適用し、局所解の大域的時間延長を実現する。
• $\sqrt{\rho}u$, $\nabla u$ およびそれらの時間微分を含む非線形項を制御するため、ガリャルディ・ニレングラントの不等式およびホルダーの不等式を用いる。
• 解の $\rho$ および $u$ が $C([0,T]; L^1 \cap H^1 \cap W^{1,q})$ および $C([\tau,T]; L^2 \cap L^q)$ で連続であることを確立することで、任意の有限時刻を超えて解を延長可能であることを保証する。
• 強解の構造を保証するため、$\text{div}\, u_0 = 0$, $\sqrt{\rho_0}u_0 \in L^2$, および $\nabla u_0 \in L^2$ の適合条件に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元密度依存型ナビエ＝ストークス方程式に真空および任意の初期データを伴う場合、$\mathbb{R}^2$ 上で大域的強解が存在しうるか。
• RQ2 一般の初期条件のもとで、$t \to \infty$ のとき、速度および圧力の空間勾配の減衰率はどのように振る舞うか。
• RQ3 真空の存在や初期密度のコンパクトな台の有無が、強解の大域的存在に影響を及ぼすか。
• RQ4 非一様条件下で、速度および圧力勾配の減衰率が均質系と一致するか。
• RQ5 初期データが大規模で、かつ密度が無限遠でゆっくり減衰する場合、局所強解理論が大域的解にまで拡張可能か。

主な発見

• 初期密度が無限遠であまりに速く減衰しないという仮定の下で、2次元初期値問題としての非一様非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式は、$\mathbb{R}^2$ 上で一意的な大域的強解を有する。
• 初期データは任意に大きく取り得る。初期密度は真空を含むか、コンパクトな台を持つことも可能であり、これは従来の正の初期密度に制限された結果を一般化する。
• 速度勾配 $\nabla u$ および圧力勾配 $\nabla P$ の大時間減衰率が、均質系と同一であることが示された。具体的には、$\|\nabla u(t)\|_{L^2} \to 0$ および $\|\nabla P(t)\|_{L^2} \to 0$ が $t \to \infty$ のとき、定常密度系と同一の速度で成立する。
• 解の大域的延長に不可欠な時間重み付きエネルギー推定 $\sup_{t \in [0,T]} t \|\sqrt{\rho}u_t\|_{L^2}^2 + \int_0^T t \|\nabla u_t\|_{L^2}^2 dt \leq C(T)$ が確立された。
• ある $N_1 > 0$ に対して、$\inf_{0 \leq t \leq T} \int_{B_{N_1}} \rho(x,t) dx \geq \frac{1}{4}$ が成り立ち、密度が時間に依存しない固定された球上でゼロから離れていることが保証される。
• $\rho$ および $u$ が適切な関数空間で連続であることから、継続法を適用でき、局所解がすべての時刻 $T > 0$ にまで延長可能であることが示され、大域的解の存在が証明された。