[論文レビュー] Global existence and non-existence of stochastic parabolic equations

Guangying Lv, Jinlong Wei|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、解の非負性仮定を必要としない、独創的な確率的凹性手法を用いて、有界領域および全空間における確率的放物型方程式の全域的解の存在と有限時刻 blowup を確立する。$1 < p \leq 1 + \frac{2}{d}$ の場合、非自明な初期データが、確率的ノイズが存在しても解の期待値および2次モーメントの有限時刻 blowup を引き起こすことが証明され、決定論的 Fujita 型現象が確率的設定に拡張され、新たなノイズ誘発効果が明らかになった。

ABSTRACT

This paper is concerned with the blowup phenomenon of stochastic parabolic equations both on bounded domain and in the whole space. We introduce a new method to study the blowup phenomenon on bounded domain. Comparing with the existing results, we delete the assumption that the solutions to stochastic heat equations are non-negative. Then the blowup phenomenon in the whole space is obtained by using the properties of heat kernel. We obtain that the solutions will blow up in finite time for nontrivial initial data.

研究の動機と目的

• 有界領域および全空間における確率的放物型方程式の有限時刻 blowup 現象を研究すること。
• 従来の確率的 blowup 分析に共通する、解が非負である必要があるという制限的な仮定を排除すること。
• 正値性要件を回避できる新しい確率的凹性手法を開発し、blowup の証明に用いること。
• 一般なノイズ構造を有する確率的放物型方程式への決定論的 Fujita 現象の拡張すること。
• 非線形性、初期データ、ノイズの影響に応じて、解が有限時刻に blowup するか、全域的に存在するかの条件を確立すること。

提案手法

• 解の正値性を要件としない blowup の証明に、確率的凹性手法を導入し、従来の確率的 Kaplan 法に代わる手法を提供する。
• 解の負の部分の $L^1$-ノルムに伊藤の公式を適用し、それがほとんど確実に消えることを示すことで、非負性仮定が不要であることを示す。
• 比較原理および熱核推定を用いて、全空間における blowup を分析し、確率的解と決定論的解を比較する。
• 熱核と確率的畳み込みを用いた弱解表現を確立し、解のモーメントを分析する。
• 積分不等式を用いた比較法により、解の期待値および2次モーメントを解析し、決定論的方程式と比較する。
• 熱核の性質および確率積分の有界性を用いて、適切な初期データおよび非線形性のもとで $\mathbb{E}[u(x,t)]$ および $\mathbb{E}[|u(x,t)|^2]$ の blowup を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解の非負性を仮定せずに、確率的放物型方程式の有限時刻 blowup を証明できるか？
• RQ2 全空間における乗法的ノイズの存在が、blowup 時間および解の存在にどのように影響するか？
• RQ3 確率的 Fujita 型現象は、決定論的場合と比べて、blowup 条件においてどの程度異なるか？
• RQ4 確率的凹性手法は、非 Lipschitz 性を持つノイズ係数を有する SPDE に一般化可能か？
• RQ5 初期データの大きさおよび空間的減衰の役割は、確率的摂動下での全域的解存在と有限時刻 blowup の決定要因として、どの程度重要か？

主な発見

• 非負性を仮定しない有限時刻 blowup を証明できる、新規な確率的凹性手法が開発された。これは、先行研究における主要な仮定を排除したものである。
• $1 < p \leq 1 + \frac{2}{d}$ の場合、任意の非自明な初期データのもとで、ノイズが存在しても期待値 $\mathbb{E}[u(x,t)]$ は有限時刻に blowup する。
• 初期データが十分に大きく、$m > 1$ の場合、2次モーメント $\mathbb{E}[|u(x,t)|^2]$ は有限時刻に blowup する。
• 全空間における blowup 結果は、決定論的熱方程式との比較および熱核推定を用いて確立され、Fujita の結果が確率的状況に拡張された。
• ノイズは、決定論的方程式が全域的解を持つ場合でも、非線形性および初期データの大きさに応じて blowup を誘発する可能性がある。
• 本手法は、非 Lipschitz 性を有する一般な乗法的ノイズ $\sigma(u)$ に対しても適用可能であり、既存の blowup 結果の適用範囲を広げた。