[論文レビュー] Global existence and non-uniqueness for 3D Navier--Stokes equations with space-time white noise

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2021

Navier-Stokes equation solutions被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、空間時間白色ノイズによって駆動される、極めて特異な確率的摂動を伴う3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、時間全域で定義された確率的強い解の存在と非一意性を確立する。パラコントロール微積分と凸統合を組み合わせることで、臨界な $L^2$-スケール未満の正則性を持つ解を構成し、確率的再正規化と体系的な分解に基づく反復的構成フレームワークにより、定義されない滑らかでない対流項を克服する。

ABSTRACT

We establish global-in-time existence and non-uniqueness of probabilistically strong solutions to the three dimensional Navier--Stokes system driven by space-time white noise. In this setting, solutions are expected to have space regularity at most $-1/2-κ$ for any $κ>0$. Consequently, the convective term is ill-defined analytically and probabilistic renormalization is required. Up to now, only local well-posedness has been known. With the help of paracontrolled calculus we decompose the system in a way which makes it amenable to convex integration. By a careful analysis of the regularity of each term, we develop an iterative procedure which yields global non-unique probabilistically strong paracontrolled solutions.Our result applies to any divergence free initial condition in $L^{2}\cup B^{-1+κ}_{\infty,\infty}$, $κ>0$, and implies also non-uniqueness in law.

研究の動機と目的

• 空間時間白色ノイズによる摂動下における3次元ナビエ＝ストークス方程式の時間全域解の存在と非一意性を扱う。この状況では、正則性が低いため古典的解析が失敗する。
• 空間時間白色ノイズの存在下で対流項が適切に定義されない問題を克服し、標準的な解析的手法が適用できない状況を打開する。
• 局所的well-posednessを超えて、最小限の正則性を持つ時間全域の確率的強い解を構成することで、確率的流体力学の範囲を拡張する。
• 同じ初期条件に対して複数の異なる確率過程が同じ確率的偏微分方程式を満たすことを示し、解の法則としての非一意性を示す。
• 超臨界なノイズを伴う特異な確率的偏微分方程式を取り扱うための、パラコントロール微積分と凸統合を統合した堅牢な解析的フレームワークを開発する。

提案手法

• パラコントロール微積分を用いてナビエ＝ストークス系を管理可能な成分に分解し、確率的パラプロダクトと再正規化によって特異な対流項を分離する。
• 凸統合を用いて、近似解の系列を段階的に構築し、レイノルズ応力誤差を制御する。
• 停止時刻の議論と時間重み付き関数空間を用いて、無限時間スケールにおける解の成長を制御する。
• ベソフ空間および Hölder 空間における適切な正則性推定を備えた、速度増分 $v_q^1$ と $v_q^lat$ の階層的構成を導入する。
• 時間重み付きノルムを用いた熱作用素のSchauder型推定を用いて、解成分の正則性を制御する。
• 滑らか化手続きを実装し、反復スキームにおけるパラメータを巧みに調整することで、収束性と誤差項の制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間時間白色ノイズによる摂動を伴う3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、時間全域で定義された確率的強い解が存在しうるか？
• RQ2 同じ初期条件のもとで、この特異な確率的設定において解の非一意性が可能であるか？
• RQ3 パラコントロール微積分を凸統合と効果的に組み合わせることで、空間時間白色ノイズを伴う超臨界なSPDEを扱えるか？
• RQ4 この確率的設定において、時間全域の解を構成可能とするために初期データに必要な最小正則性は何か？
• RQ5 系が法則としての非一意性を示すか、すなわちパスごとの非一意性を超えた、本質的な確率的曖昧性を示すか？

主な発見

• 任意の発散なし初期条件が $L^2 \cup B^{-1+\kappa}_{\infty,\infty}$ に属する場合、任意の $\kappa > 0$ に対して、時間全域で定義された確率的強い解が存在する。
• 解の非一意性が確立された：同じ初期条件とノイズ実現値から複数の異なる解が生じ得る。
• 法則としての非一意性が示唆された。これは、解の法則が初期データとノイズ分布によって一意に定まらないことを意味する。
• 構築された解は、任意の $\kappa > 0$ に対して空間的正則性が $-1/2 - \kappa$ 未満であることが示され、ノイズの超臨界性を反映している。
• 反復的凸統合スキームはレイノルズ応力の制御に成功し、$C_t B^{1/3 - 2\kappa}_{5/3,\infty}$ のような臨界関数空間における収束を保証した。
• 時間重み付き正則性推定とパラコントロール分解による確率的キャンセレーションをバランスさせることで、時間全域の存在性を達成した。