[論文レビュー] Global Existence for a Kinetic Model of Pattern Formation with Density-suppressed Motilities

Kentarou Fujie, Jie Jiang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、信号濃度の増加に伴い拡散が退化する密度抑制型移動性を有するキネティックモデルの古典的解の時間全域における存在および一様有界性を確立する。著者らは、有限時間における拡散の退化を防ぐための新しい解析的手法を開発し、μ > 0 または 1/γ に対して多項式成長条件が成り立つ場合に有界性を証明した。さらに、μ = 0、γ(v) = e⁻ᵛ の場合に、臨界質量を超える初期データに対して、無限時間 blowup という新しい現象を発見した。

ABSTRACT

In this paper, we consider global existence of classical solutions to the following kinetic model of pattern formation \begin{equation} \begin{cases} u_t=Δ(γ(v)u)+μu(1-u) -Δv+v=u \end{cases} \qquad (0.1) \end{equation}in a smooth bounded domain $Ω\subset\mathbb{R}^n$, $n\geq1$ with no-flux boundary conditions. Here, $μ\geq0$ is any given constant. The function $γ(\cdot)$ represents a signal-dependent diffusion motility and is decreasing in $v$ which models a density-suppressed motility in process of stripe pattern formation through self-trapping mechanism [8,20]. The major difficulty in analysis lies in the possible degeneracy of diffusion as $v earrow+\infty.$ In the present contribution, based on a subtle observation of the nonlinear structure, we develop a new method to rule out finite-time degeneracy in any spatial dimension for all smooth motility function satisfying $γ(v)>0$ and $γ'(v)\leq0$ for $v\geq0$. Then we prove global existence of classical solution for (0.1) in the two-dimensional setting with any $μ\geq0$. Moreover, the global solution is proven to be uniform-in-time bounded if either $1/γ$ satisfies certain polynomial growth condition or $μ>0.$ Besides, we pay particular attention to the specific case $γ(v)=e^{-v}$ with $μ=0$. A novel critical phenomenon in the two-dimensional setting is observed where blowup takes place in infinite time rather than finite time in our model.

研究の動機と目的

• 信号依存的で退化する拡散を有する、パターン形成の放物型・楕円型キネティックモデルに対する古典的解の時間全域的存在を確立すること。
• v → ∞ のとき γ(v) → 0 となるため、密度抑制型移動性に起因する、拡散の有限時間における退化の可能性という課題を克服すること。
• 一般の移動関数 γ(v) > 0 で γ′(v) ≤ 0 を満たす場合に、解の長時間挙動、特に有界性および blowup 動態を分析すること。
• ロジスティック項（μ ≥ 0）の果たす重要な役割と、μ = 0 の場合に γ(v) = e⁻ᵛ となるケースを調査し、これは Keller–Segel モデルと同様の平衡点およびリャプノフ構造を持つこと。
• 特に、2次元において一様有界性と無限大への成長の間の遷移を特定すること。特に、臨界質量を超える初期データに対して、無限時間 blowup が生じるという新しい現象を同定すること。

提案手法

• γ(v) → 0 となる場合でも、拡散の有限時間における退化を排除するため、微妙な非線形構造に基づく新しい解析的手法を開発した。
• リャプノフ汎関数とエネルギー推定を用いて、特に μ = 0、γ(v) = e⁻ᵛ の場合の解の成長を制御した。
• 楕円型正則性と重み付き L² 推定を用いて、初期データおよび領域の幾何構造に基づき、解成分 u と v を有界化した。
• ベッセル関数および対数的重みを含む積分の漸近的解析とホルダーの不等式を巧みに適用し、主要なエネルギー項を制御した。
• パrameter λ と a を調整することで、特定の初期データを構成し、リャプノフ汎関数を −∞ にまで引き下げる。これにより、解の無限大への成長を示した。
• 系を扱いやすくするため、放物型・楕円型簡略化（−Δv + v = u）を用い、同時に本質的な力学を保存した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の空間次元において、退化的で密度抑制型移動性を有するパターン形成のキネティックモデルに対して、古典的解が時間全域に存在しうるか？
• RQ2 移動関数 γ(v) に対してどのような条件下で、拡散の有限時間における退化を排除できるか？
• RQ3 μ = 0 かつ γ(v) = e⁻ᵛ の場合に、解の長時間における有界性または無限大への成長は、何によって決定されるか？
• RQ4 ブロウアップダイナミクスの観点から、本モデルの挙動は古典的 Keller–Segel モデルとどのように異なるか？
• RQ5 臨界質量を超える初期データは、有限時間ではなく無限時間にわたる無限大への成長を引き起こす可能性があるか？

主な発見

• 2次元空間において、すべての μ ≥ 0 および任意の滑らかで非増加的な γ(v) > 0 に対して、古典的解が時間全域に存在する。
• μ > 0 または 1/γ が多項式成長条件を満たす場合、解は時間に一様に有界である。
• γ(v) = e⁻ᵛ で μ = 0 の特定のケースにおいて、臨界質量未満の初期データを有する解は、時間全域にわたって一様に有界である。
• ある種の臨界質量を超える初期データに対して、解は t → ∞ のとき無限大に発散する。これは、無限時間 blowup を示している。
• この無限時間 blowup は、古典的 Keller–Segel モデルにおける有限時間 blowup とは明確に異なる、新しい現象である。
• 任意に大きな質量を持つ初期データを構成し、その解の成長が無限大に発散することを確認した。これにより、μ = 0、γ(v) = e⁻ᵛ の場合における臨界質量閾値の鋭さが裏付けられた。