[論文レビュー] Global existence for a strongly coupled Cahn--Hilliard system with viscosity

Pierluigi Colli, Gianni Gilardi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形で非定数の拡散係数（熱伝導率）と一般の、多値をとる可能性のあるポテンシャルを有する秩序パラメータをもつ、強い結合性・粘性のあるカーン＝ヒリャール系に対して、弱解のグローバル存在を確立する。解析では、時間遅れ正則化、事前推定、コンパクト性の議論を用いて非線形結合性と滑らかでない自由エネルギーに対処し、一様な放物型性および非線形性の構造的仮定の下で存在を証明する。

ABSTRACT

An existence result is proved for a nonlinear diffusion problem of phase-field type, consisting of a parabolic system of two partial differential equations, complemented by Neumann homogeneous boundary conditions and initial conditions. This system is meant to model two-species phase segregation on an atomic lattice under the presence of diffusion. A similar system has been recently introduced and analyzed in [CGPS11]. Both systems conform to the general theory developed in [Pod06]: two parabolic PDEs, interpreted as balances of microforces and microenergy, are to be solved for the order parameter $ ho$ and the chemical potential~$\mu$. In the system studied in this note, a phase-field equation in $ ho$ fairly more general than in [CGPS11] is coupled with a highly nonlinear diffusion equation for $\mu$, in which the conductivity coefficient is allowed to depend nonlinearly on both variables.

研究の動機と目的

• 非線形で非定数の拡散係数（熱伝導率）κ(µ, ρ) と一般の、多値をとる可能性のある秩序パラメータのポテンシャルを有する強い結合性カーン＝ヒリャール系に対して、グローバル弱解の存在を確立すること。
• 熱伝導率 κ(µ, ρ) が化学ポテンシャル µ と秩序パラメータ ρ の両方の関数として正で有界かつ連続的であり、かつ非線形である可能性を許容するように、従来のモデルを一般化すること。
• 自由エネルギーのポテンシャル f1 が一般の凸、proper、下半連続関数である場合に、秩序パラメータの式における多値部分微分 β(ρ) が生じることを扱うこと。
• 一様な放物型性（κ ≥ κ* > 0）の仮定の下で存在を証明することにより、非線形結合性にもかかわらず、系が一様に放物的であることを保証すること。

提案手法

• 時間遅れ正則化を元の系に適用し、近似解を構成することで、方程式を平滑化し、事前推定の導出を可能にする。
• 複数の関数空間における事前推定を導出する：L∞(0,T;H)、L2(0,T;V)、L∞(0,T;W)、および L2(0,T;H) において時間微分およびフラックスについて。
• コンパクト性および単調性の技法を用いて、正則化系における極限への移行を実施し、L∞ 空間における弱*収束および L2 および C0(Q) における強い収束を活用する。
• ρτ の一様有界性および強い収束に起因して、g(ρτ)、κ(µτ, ρτ)、∇K(µτ, ρτ) などの非線形項の収束を確立し、弱形式における極限の特定を可能にする。
• 極限系は、法線成分の収束を介して、境界条件（ノイマン型）を弱い意味で満たす。
• エネルギー的項の成長を制御するためのグローバル補題を用い、キルホフ型積分 K(µ,ρ)、K1(µ,ρ)、K2(µ,ρ) の構造を活用して非線形拡散を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形で非定数の拡散係数 κ(µ,ρ) を有する強い結合性カーン＝ヒリャール系に対して、グローバル弱解が存在するか？
• RQ2 自由エネルギーのポテンシャル f1 が一般の凸、proper、下半連続関数である場合に、多値部分微分 β(ρ) をもたらすものとして、存在結果を拡張可能か？
• RQ3 非定数の熱伝導率 κ(µ,ρ) を有する状況下で、化学ポテンシャル µ と秩序パラメータ ρ の間の非線形結合性をどのように扱えるか？
• RQ4 時間正則化近似における極限に移行するために必要な事前推定およびコンパクト性の議論は何か？

主な発見

• 任意の T>0 に対して、[0,T]×Ω 上にグローバル弱解 (µ, ρ, ξ) が存在し、Q において a.e. で µ≥0、ρ∈L∞(0,T;W)、ξ∈β(ρ) a.e. で成立する。
• 解は、法線フラックス κ(µ,ρ)∇µ·ν が Σ 上で消えるという意味で、ノイマン境界条件を満たす。
• 時間微分 ∂tµ は L2(0,T;H) で有界であり、キルホフ積分 K(µ,ρ) の勾配は L∞(0,T;V) で有界であり、これは ∇µ が L∞(0,T;H) で有界であることを示唆する。
• 正則化解の収束は、µ に対して L2(0,T;H) で強く、Q で a.e. に強く、ρ に対して C0(Q) で強く行われ、非線形項の極限の特定が可能になる。
• 極限解は、元の系の弱形式を満たし、非線形熱伝導率を有する µ の式および多値部分微分を有する ρ の式を含む。
• フラックス項 div(κ(µτ,ρτ)∇µτ) の極限が L2(0,T;H) で div(κ(µ,ρ)∇µ) に収束することを証明し、極限が弱い意味でPDEを満たすことを確認した。