[論文レビュー] Global Existence of Solutions of the Semiclassical Einstein Equation

Nicola Pinamonti, Daniel Siemssen|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、質量のある conformally coupled スカラー場によって駆動される平坦な宇宙論的時空における半古典的アインシュタイン方程式の解の全域的存在および一意性を確立する。有限で全域的に制御されたストレステンソル期待値を構築することで、解が時空特異点に達するまで延長可能であることを証明した—特異点とはスケール因子が発散するか、または Hubble パラメータが $H_c = 180\pi/G$ に達する場合に定義される。これは臨界曲率発散を確認するものである。

ABSTRACT

We study the solutions of the semiclassical Einstein equation in flat cosmological spacetimes driven by a massive conformally coupled scalar field. In particular, we show that it is possible to give initial conditions at finite time to get a state for the quantum field which gives finite expectation values for the stress-energy tensor. Furthermore, it is possible to control this expectation value by means of a global estimate on regular cosmological spacetimes. The obtained estimates permit to write a theorem about the existence and uniqueness of the local solutions encompassing both the spacetime metric and the matter field simultaneously. Finally, we show that one can always extend local solutions up to a point where the scale factor becomes singular or the Hubble function reaches a critical value $H_c = 180\pi/G$, which both correspond to a divergence of the scalar curvature, namely a spacetime singularity.

研究の動機と目的

• 質量のある conformally coupled スカラー場のストレステンソル期待値が有限になるような初期条件の確立。
• 正則な宇宙論的時空におけるストレステンソルの全域的推定による制御。
• 計量および物質場を組み合わせた局所解の存在および一意性の証明。
• 時空特異点が発生するまでの局所解の最大延長の特定。

提案手法

• 量子場の初期データを構築し、ストレステンソルの期待値が有限になるようにする。
• 正則な宇宙論的時空におけるストレステンソルに全域的推定を適用し、有界性を保証する。
• 半古典的アインシュタイン方程式を用いて、計量と量子場のダイナミクスを同時に結合する。
• 計量およびストレステンソルの爆発を防ぐための事前推定を導出する。
• スケール因子および Hubble パラメータの振る舞いを分析し、特異点条件を特定する。
• 解の最大延長が、スケール因子が発散するか、$H = H_c = 180\pi/G$ に達する時点で終了することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 宇宙論的設定において、量子場のストレステンソル期待値が有限になるような初期条件を選べるか？
• RQ2 ストレステンソルを広範な時空領域にわたり制御するための全域的推定を確立できるか？
• RQ3 半古典的アインシュタイン方程式と物質場の結合系に一意な局所解が存在するか？
• RQ4 時空特異点が発生するまでの解の最大寿命は何かによって決定されるか？
• RQ5 臨界 Hubble 値 $H_c = 180\pi/G$ は、時空幾何学における物理的特異点を示唆するか？

主な発見

• 量子場の初期条件を有限にすることで、ストレステンソル期待値が有限となり、明確に定義されたダイナミクスが可能になる。
• 正則な宇宙論的時空におけるストレステンソルの全域的推定により、有界性および正則性が保証される。
• 与えられた条件下で、計量-物質系の局所解は存在し、かつ一意である。
• スケール因子が発散するか、Hubble パラメータが $H_c = 180\pi/G$ に達するまで、解は全域的に延長可能であり、両者とも曲率特異点を示唆する。
• 臨界 Hubble 値 $H_c = 180\pi/G$ はスカラー曲率の発散に対応し、時空特異点を示す。