[論文レビュー] Global existence of weak solution to compressible two-fluid model without any domination condition in three dimensions

Huanyao Wen|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、初期密度同士に支配条件を要しない、大規模な初期データおよび独立した比熱比 γ, Γ ≥ 9/5 を持つ3次元圧縮性2相流モデルに対する弱解の全球的存在を確立する。解析は、異なる速度を有する系や運動論的・流体極限から生じる2成分圧力則を扱い、2つの密度の正則性の欠如に立ち向かうために、新規の推定と技術を用いる。

ABSTRACT

We consider the Dirichlet problem for a compressible two-fluid model in three dimensions, and obtain the global existence of weak solution with large initial data and independent adiabatic constants \Gamma,\gamma>=9/5. The pressure functions are of two components solving the continuity equations. Two typical cases for the pressure are considered, which are motivated by the compressible two-fluid model with possibly unequal velocities [3] and by a limiting system from the Vlasov-Fokker-Planck/compressible Navier-Stokes system [27] (see also some other relevant models like compressible MHD system for two-dimensional case [24] and compressible Oldroyd-B model with stress diffusion [1]). The lack of enough regularity for the two densities turns out some essential difficulties in the two-component pressure compared with the single-phase model, i.e., compressible Navier-Stokes equations. Some new ideas along with some new estimates are therefore necessary. In this paper, the global existence theory does not require any domination conditions for the initial densities, which implies that transition to each single-phase flow is allowed.

研究の動機と目的

• 3次元圧縮性2相流モデルに対して、大規模な初期データをもつ弱解の全球的存在を確立すること。
• 2つの初期密度間に支配条件を要しないようにすることで、単相流への遷移を許容すること。
• 異なる流体相が異なる速度を有する場合に生じる、2成分圧力項の正則性欠如に対処すること。
• 圧縮性ストークス方程式の理論枠組みを、独立した比熱比を有する多相系へ拡張すること。
• 最小限の構造的仮定の下で、結合された連続の式および運動量方程式を扱うために、新たな解析的手法を開発すること。

提案手法

• 2成分圧力項を有する連続の式および運動量方程式の系として2相流モデルを定式化すること。
• 低正則性を有する2つの密度に対処するため、補間コンパクトネスおよび弱収束技術を適用すること。
• 特に異なる速度下でも成立するように、2流体成分の圧力則における相互作用を制御するための新規推定を導入すること。
• 弱解フレームワークにおける十分な可積分性とコンパクトネスを保証するため、条件 γ, Γ ≥ 9/5 を用いること。
• 正則化を用いて近似解を構成し、弱コンパクトネスおよびエントロピー推定を用いて極限に移行すること。
• 圧縮性ストークスおよび運動論的・流体極限モデルの技術を、2相系へ適応すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度間に支配条件を要しない3次元圧縮性2相流モデルに対して、全球的弱解を確立できるか？
• RQ2 単相流の仮定が成り立たない状況下で、2成分圧力項の正則性欠如をどのように克服できるか？
• RQ3 独立した比熱比および異なる速度を有する2流体の結合を扱うために必要な解析的手法は何か？
• RQ4 圧縮性ストークス理論を、1相の優勢性を仮定しない多相系へどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 2相流フレームワークにおける弱解の存在に必要なコンパクトネスを保証するための比熱定数の条件は何か？

主な発見

• 初期データが L^∞ に属し、有限エネルギーである3次元圧縮性2相流モデルに対して、弱解の全球的存在が確立された。
• 2つの初期密度間に支配条件が一切不要であるため、単相流への相転移が可能である。
• 解析は2つの典型的な圧力モデルに適用可能である：1つは異なる速度を有する2相系から生じるモデル、もう1つはVlasov-Fokker-Planck/圧縮性ストークス極限から生じるモデル。
• 弱解フレームワークにおける十分な可積分性とコンパクトネスを保証するため、比熱比に γ, Γ ≥ 9/5 の条件が必要である。
• 2つの密度の正則性が低い状況下でも、2成分圧力項を制御するための新規推定が開発された。
• 本手法により、単相流圧縮性ストークス方程式の弱解理論が、最小限の構造的仮定の下で多相系へ拡張された。