[論文レビュー] Global existence of weak solutions of the nematic liquid crystal flow in dimensions three

Fanghua Lin, Changyou Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、初期方向場 $ d_0 $ が上半球面に値をとる任意の初期データ $ (u_0,d_0) \in H \times H^1(\Omega, \mathbb{S}^2) $ に対して、3次元における簡略化されたエリクセン＝レズリー系の弱解の全球存在性を確立する。ギンツブルグ＝ランダウ近似とコンパクトネスの議論を用いて、グローバルエネルギー不等式を満たす弱解への収束を証明し、3次元における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

For any bounded smooth domain $Ω\subset\mathbb R^3$, we establish the global existence of a weak solution $u:Ω imes (0,+\infty) o\mathbb R^3 imes\mathbb S^2$ of the initial-boundary value (or the Cauchy) problem of the simplified Ericksen-Leslie system (1.1) modeling the hydrodynamic flow of nematic liquid crystals for any initial and boundary (or Cauchy) data $(u_0. d_0)\in {\bf H} imes H^1(Ω,\mathbb S^2$), with $d_0(Ω)\subset\mathbb S^2_+$ (the upper hemisphere). Furthermore, ($u,d$) satisfies the global energy inequality (1.4).

研究の動機と目的

• 3次元における大規模な初期データに対する簡略化されたエリクセン＝レズリー系の弱解のグローバル存在性という未解決問題を解消すること。
• 初期データ $ (u_0,d_0) \in \mathbf{H} \times H^1(\Omega, \mathbb{S}^2) $ で $ d_0(\Omega) \subset \mathbb{S}^2_+ $ を満たす任意の初期データに対して、グローバルエネルギー不等式を満たすグローバル弱解 $ (u,d) $ の存在を確立すること。
• 小規模なデータや高粘性領域に限らない解の存在理論を拡張し、超臨界非線形項 $ \nabla \cdot (\nabla d \odot \nabla d) $ を取り扱うこと。
• ギンツブルグ＝ランダウ正則化から得られる近似解の列が、元の系の弱解に収束することを証明すること。

提案手法

• 方向場 $ d $ が $ \mathbb{S}^2 $-値をとることを制約する代わりに、$ |d|=1 $ を罰則項を含むエネルギー関数で近似するギンツブルグ＝ランダウ近似の使用。
• 近似解 $ (u_k, d_k) $ の列を構成し、$ d_k \in H^1 $ かつ $ |d_k| \leq 1 $ を満たし、一様なエネルギー評価を得る。
• $ L^2 $, $ H^1 $, $ L^\infty(0,T; L^2) $ における弱収束および弱*収束を用いたコンパクトネスの議論により、極限解 $ (u,d) $ を抽出する。
• 集中・コンパクトネス法と「適切な近似調和写像」の概念を用いて、張力項 $ \Delta d + |\nabla d|^2 d $ を $ L^2 $-型ノルムで制御する。
• 張力項の一様な有界性と背理法を用いて、$ d_k $ が $ H^1_{\text{loc}}(\Omega \times (0,T)) $ で $ d $ に強い収束することを確立する。
• 極限 $ (u,d) $ が元の系の弱形式およびグローバルエネルギー不等式を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元における簡略化されたエリクセン＝レズリー系に対して、任意の大規模な初期データに対しグローバル弱解が存在しうるか？
• RQ2 超臨界非線形項 $ \nabla \cdot (\nabla d \odot \nabla d) $ の存在が、弱解のグローバル存在を妨げるか？
• RQ3 $ \epsilon \to 0 $ の極限を取った際に、ギンツブルグ＝ランダウ近似を用いて3次元でグローバル弱解を構成できるか？
• RQ4 一般の初期データに対して、ギンツブルグ＝ランダウ近似の極限でエネルギー不等式が保存されるか？

主な発見

• 任意の初期データ $ (u_0,d_0) \in \mathbf{H} \times H^1(\Omega, \mathbb{S}^2) $ で $ d_0(\Omega) \subset \mathbb{S}^2_+ $ を満たす場合に、3次元における簡略化されたエリクセン＝レズリー系の弱解 $ (u,d) $ のグローバル存在性が確立された。
• 解はグローバルエネルギー不等式を満たし、長期的な安定性と全エネルギーの制御を保証する。
• ギンツブルグ＝ランダウ正則化から得られる近似解の列 $ (u_k, d_k) $ は、$ d_k $ に関して $ H^1_{\text{loc}}(\Omega \times (0,T)) $ で強い収束を示し、$ u_k $ に関しては $ L^2(0,T; H^1) $ で弱収束する。
• 極限において張力項 $ \Delta d + |\nabla d|^2 d $ が $ L^2(\Omega \times (0,T)) $ に属することを示し、弱形式の定義が正当化されることを保証する。
• 極限解 $ d $ は $ \mathbb{S}^2_{-1+a} $ に値をとり、ある $ a > 0 $ に対して $ \nu_t \equiv 0 $ である。これは調和写像極限におけるエネルギーの集中がないことを示唆する。
• $ d_k $ から $ d $ への収束が $ H^1_{\text{loc}} $ で強い収束であることは、非線形項 $ \nabla \cdot (\nabla d_k \odot \nabla d_k) $ の極限を取る際に不可欠である。