[論文レビュー] Global Existence of Weak Solutions to the Barotropic Compressible Navier-Stokes Flows with Degenerate Viscosities

Jing Li, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 37被引用数 79

ひとこと要約

この論文は、初期データが大きいかつ真空が存在する場合でさえも、2次元または3次元における非圧縮性粘性係数を有する圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、弱解のグローバル存在を確立する。エネルギー、BDエントロピー、およびメレット＝ヴァッセール推定を満たす、巧みに正則化された近似系を構築し、ブレシュ＝デシャルダンおよびメレット＝ヴァッセールに基づくコンパクト性の議論を適用することで、リヨン（1998年）が提起した、粘性係数が退化する場合の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

This paper concerns the existence of global weak solutions to the barotropic compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosity coefficients. We construct suitable approximate system which has smooth solutions satisfying the energy inequality, the BD entropy one, and the Mellet-Vasseur type estimate. Then, after adapting the compactness results due to Mellet-Vasseur [Comm. Partial Differential Equations 32 (2007)], we obtain the global existence of weak solutions to the barotropic compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosity coefficients in two or three dimensional periodic domains or whole space for large initial data. This, in particular, solved an open problem in [P. L. Lions. Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. 2. Compressible models. Oxford University Press, 1998].

研究の動機と目的

• 圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、粘性係数が退化する場合、特に真空が存在する場合の弱解のグローバル存在問題を解決すること。
• 従来の小エネルギーまたは非真空仮定にとどまらず、周期的領域または全空間において大規模な初期データに対しても存在理論を拡張すること。
• 真空が存在する場合でも、エネルギー不等式、BDエントロピー不等式、およびメレット＝ヴァッセール型推定を満たす滑らかな近似系を構築すること。
• ブレシュ＝デシャルダンおよびメレット＝ヴァッセールのコンパクト性技術を、粘性係数が退化する状況に適応させ、弱解への収束を保証すること。
• 物理的モデル（浅水域モデルやボルツマンに基づく導出）に由来する密度に依存する粘性係数を許容することで、既存の退化粘性係数に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 真空および粘性係数の退化を扱うためにパラメータ ε を導入し、滑らかな解を有する正則化近似系を構築すること。
• 近似解がエネルギー不等式、ブレシュ＝デシャルダン（BD）エントロピー不等式、およびメレット＝ヴァッセール型推定を満たすように保証すること。これらは速度の可積分性を制御し、濃縮を防ぐ。
• 標準的な収縮写像原理を用いて、截断領域 $Q_\varepsilon$ 上での近似系の滑らかな解の局所的存在を確立すること。
• $Q_\varepsilon$ の外側では解をゼロに設定することで、全領域 $\Omega$ に解を拡張し、ε に一様な推定を保つこと。
• 対角列の議論と、ブレシュ＝デシャルダン（2002年、2003年）およびメレット＝ヴァッセール（2007年）のコンパクト性結果を用いて、極限解を抽出すること。
• 極限解が元の方程式の弱形式を満たし、必要な可積分性および正則性の性質を継承することを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが大きくかつ真空が存在する場合、圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、粘性係数が退化する場合にグローバル弱解が存在しうるか？
• RQ2 特に $h(\rho)$ および $g(\rho)$ が密度に依存する場合に、ブレシュ＝デシャルダンのエントロピー不等式は、退化粘性係数の場合にも有効に保たれるか？
• RQ3 真空が存在する状況下でも、退化粘性係数フレームワーク内での滑らかな近似に対して、メレット＝ヴァッセール型推定を確立できるか？
• RQ4 真空が存在する場合でも、エネルギー、BDエントロピー、メレット＝ヴァッセールのすべての事前推定を満たす正則化近似系を構築することは可能か？
• RQ5 退化粘性係数の場合に、コンパクト性の議論をどのように適応させ、極限に到達してグローバル弱解を得ることができるか？

主な発見

• 本論文は、周期的領域および $\mathbb{R}^3$ において、大規模な初期データ（真空を含む）に対しても、圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して粘性係数が退化する場合の弱解のグローバル存在を証明する。
• 構築された近似系は、正則化パラメータ ε に一様に、エネルギー不等式、BDエントロピー不等式、およびメレット＝ヴァッセール推定を満たす。
• 近似解の極限は、分布の意味で元の方程式の弱形式を満たすグローバル弱解を形成する。
• この結果は、リヨン（1998年）が提起した未解決問題を解決する。特に $h(\rho) = \rho$, $g(\rho) = 0$, または $h(\rho) = g(\rho) = \rho$ の場合、これは浅水域モデルなどの物理的導出に由来する。
• 真空の取り扱いにおいて、BDエントロピーおよびメレット＝ヴァッセール推定による一様な制御により、粘性係数が真空で退化する場合の課題を効果的に処理する。
• 解析は2次元および3次元の両方の空間次元に拡張可能であり、退化および大規模な初期データ下でのアプローチの頑健性を確認する。