[論文レビュー] Global existence of weak solutions to the FENE dumbbell model of polymeric flows

Nader Masmoudi|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2010

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形フォッカー・プランク方程式とナビエ＝ストークス方程式をミクロ・マクロ相互作用によって結合する、ポリマー流体のFENEダムベルモデルに対する弱解の大域的存在を確立する。証明は弱収束技法に依拠し、非線形応力項におけるコンパクト性の欠如を扱うために、欠損測度の輸送方程式の新たな解析を用いる。これにより、一般のFENEポテンシャルに対して、存在結果を拡張する。

ABSTRACT

Systems coupling fluids and polymers are of great interest in many branches of sciences. One of the models to describe them is the FENE (Finite Extensible Nonlinear Elastic) dumbbell model. We prove global existence of weak solutions to the FENE dumbbell model of polymeric flows for a very general class of potentials. The main problem is the passage to the limit in a nonlinear term that has no obvious compactness properties. The proof uses many weak convergence techniques. In particular it is based on the control of the propagation of strong convergence of some well chosen quantity by studying a transport equation for its defect measure.

研究の動機と目的

• 流体力学とポリマー運動論を結合するFENEダムベルモデルの弱解の大域的存在を確立すること。
• ポリマーの有限拡張性に起因する境界 |R| = R₀ 近傍における非線形応力項のコンパクト性の欠如という課題を克服すること。
• 強収束の伝播を欠損測度の輸送方程式を用いて制御することで、局所解を超えた存在理論を拡張すること。
• エネルギー散逸と一様なバインディングを保証する、ポリマー流体におけるミクロ・マクロ結合の厳密な数学的枠組みを提供すること。
• 今後のゼロ拡散極限および2次元における正則性解析の基盤を築くこと。

提案手法

• 空間的人工拡散を導入した正則化近似系を用いて、滑らかな解の存在を保証する。
• 正則化パラメータが消える極限において、正則化系で弱収束技法を適用して極限を取ること。
• 非線形応力項におけるコンパクト性の欠如を追跡するため、欠損測度を導入すること。
• 欠損測度の伝播を制御し収束を保証するため、欠損測度の輸送方程式を導出し解析すること。
• エネルギー推定と自由エネルギー散逸を用いて、正則化に依存しない一様なバインディングを取得すること。
• ハーディー型不等式と $L^p$ 推定を用いて、ポリマー配置変数 $R$ の $H^1$ ノルムで応力テンソルを制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形応力項におけるコンパクト性の欠如が生じるにもかかわらず、一般のポテンシャル仮定のもとでFENEダムベルモデルに対する大域的弱解を構成可能か？
• RQ2 弱収束に起因する欠損測度が存在する状況で、強収束の伝播をどのように制御できるか？
• RQ3 空間変数における拡散の極限をとった場合に、存在結果を拡張可能か？
• RQ4 FENEモデルの他、フック型やFENE-Pモデルなど他のモデルに対しても、大域的存在結果を一般化可能か？
• RQ5 FENEモデルにおけるミクロ・マクロ結合構造は、ナビエ＝ストークス系と比較して、より優れた正則性または安定性特性をもたらすか？

主な発見

• 一般クラスのFENE型ポテンシャル、特に標準形 $\mathcal{U}(R) = (1 - |R|^2)^{1-\sigma}$ を含む、FENEダムベルモデルに対して弱解の大域的存在が確立された。
• 主な技術的貢献は、欠損測度を輸送方程式によって制御し、非線形項におけるコンパクト性の欠如にもかかわらず収束を可能にしたことにある。
• エネルギーおよび自由エネルギー散逸の一様なバインディングが極限でも保たれ、弱解が物理的エネルギーバランスを満たすことが保証された。
• 本手法はミクロ・マクロ相互作用を有する系に適用可能であり、ポリマー変数 $R$ において最小限の正則性をもつ初期データに対しても成立する。
• 本結果は、従来の局所的適切性結果を拡張し、長時間挙動および正則性の解析の基盤を提供する。
• 本手法は、後続の研究で示されたFENE-Pモデルなど他のモデルに対しても適応可能であることが示された。