[論文レビュー] Global existence of weak solutions to the three-dimensional Prandtl equations with A special structure

Cheng‐Jie Liu, Yaguang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特別な構造的条件の下で3次元プラントル方程式の弱解のグローバル存在を確立する。その条件とは、接線速度場が法線方向に対して単調性を保つこと（∂u/∂z > 0）および圧力が有利な条件を満たすこと（p_x ≥ 0）である。クロッコ変換を適用し、退化放物型方程式を解析することで、コンパクト性および弱収束法を用いて解の存在を証明し、シン＝チャンの2次元結果をこの構造的制約の下で3次元に拡張する。

ABSTRACT

The global existence of weak solutions to the three space dimensional Prandtl equations is studied under some constraint on its structure. This is a continuation of our recent study on the local existence of classical solutions with the same structure condition. It reveals the sufficiency of the monotonicity condition on one component of the tangential velocity field and the favorable condition on pressure in the same direction that leads to global existence of weak solutions. This generalizes the result obtained by Xin-Zhang on the two-dimensional Prandtl equations to the three-dimensional setting.

研究の動機と目的

• 特別な構造的条件下での3次元プラントル方程式の弱解のグローバル存在を確立すること。
• シン＝チャンの2次元グローバル存在結果を3次元設定に拡張すること。
• 接線速度の法線方向における単調性および有利な圧力条件が、グローバル弱解の存在に十分であることを示すこと。
• 同一の構造的仮定の下で、先行研究の局所古典解結果をグローバル弱解枠組みに一般化すること。

提案手法

• 3次元プラントル系を、W = ∂_z u / U に関する退化放物型方程式に縮小するためにクロッコ変換を適用すること。
• ζ = 1における退化を扱うために、時間分割と滑らか化法による正則化解W^nの列を導入すること。
• エネルギー推定とBVバインディングを用いて、W^nの正則性および一様可積分性を制御すること。
• Lions-Aubinの補題を用いて、(1−ζ)^2 / W^n がW^{1,1}およびL^∞で一様有界であることを示し、L^2((0,T)×Ω)におけるコンパクト性を確立すること。
• n → ∞ として極限を取ることで、分布的意味での方程式を満たす弱解Wが得られることを示すこと。
• 極限解Wが初期条件、境界条件、境界層条件を分布的意味で満たしていることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次流れを防ぐ構造的条件の下で、3次元プラントル方程式にグローバル弱解が存在しうるか？
• RQ2 速度のx成分が法線方向に単調性を示す（u_z > 0）ことで、滑らかさの欠如にもかかわらずグローバル存在が可能になるか？
• RQ3 有利な圧力条件（p_x ≥ 0）が退化を制御し、グローバル存在を保証するために十分か？
• RQ4 シン＝チャンの2次元グローバル存在結果は、同一の構造的仮定の下で3次元に拡張可能か？
• RQ5 クロッコ変換は、3次元プラントル系を解ける退化放物型方程式に変換するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、u_z > 0、kが非粘性バーガース方程式を満たし、p_x ≥ 0 であるという構造的仮定の下で、3次元プラントル方程式のグローバル弱解の存在を証明する。
• 解W = ∂_z u / U はL^∞(0,T; BV(Ω))に属し、弱解に十分な正則性が保証される。
• 一様有界性とLions-Aubinの補題を用いて、(1−ζ)^2 / W^n がL^2((0,T)×Ω)でコンパクトであることが確立される。
• 極限解Wは分布的意味で変換された方程式 (1.7) を満たす。
• 境界条件W|_{ζ=1} = 0 および W ∂_ζ W|_{ζ=0} = p_x / U が分布的意味で検証される。
• 結果として、シン＝チャンの2次元グローバル存在結果が、同一の構造的および圧力条件の下で3次元に一般化される。