[論文レビュー] Global existence result for phase transformations with heat transfer in shape memory alloys

Lætitia Paoli, Adrien Petrov|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2011

Shape Memory Alloy Transformations参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、形状記憶合金における相転移の熱的整合性モデルについて、非線形的熱伝導と率に依存しない変化の両立を含む、弱解の全域的存在を確立する。固定点法と変分的枠組みに基づくエンタルピーに依存する全エネルギー推定を用いて、初期データおよび材料パラメータの一般な正則性仮定のもとで、3次元系について解の存在を証明する。

ABSTRACT

We consider three-dimensional models for rate-independent processes describing materials undergoing phase transformations with heat transfer. The problem is formulated within the framework of generalized standard solids by the coupling of the momentum equilibrium equation and the flow rule with the heat transfer equation. Under appropriate regularity assumptions on the initial data, we prove the existence a global solution for this thermodynamically consistent system, by using a fixed-point argument combined with global energy estimates.

研究の動機と目的

• 形状記憶合金における熱的整合性のある相転移モデルの全域的弱解の存在を確立すること。
• 内部変数の率に依存しない変化と熱伝導を組み合わせ、熱的効果および粘性減衰を考慮すること。
• 線形化されたヘルムホルツ自由エネルギー分解を通じて、温度と内部変数のより一般的な結合を組み込むことにより、既存の結果を拡張すること。
• エンタルピー変換に基づく変分的枠組みにおいて固定点法を用いて解の存在を証明すること。
• 温度の厳密な正の性質と解の長期間存在を保証するための全エネルギー推定を導出すること。

提案手法

• 運動量の平衡、流れ則、熱伝導方程式を用いて一般化標準材料の枠組みで問題を定式化する。
• 機械的および熱的寄与を分離するためにヘルムホルツ自由エネルギーの分解を導入し、熱的整合性を実現する。
• 非線形性を扱い、エネルギー推定を可能にするために、系をエンタルピーに基づいて再定式化する。
• 与えられた温度に対して運動量・流れ則系を逐次解き、与えられた右辺に対してエンタルピー方程式を解くことにより、固定点法を適用する。
• 全エネルギー推定とガリャルディーノ＝ニレングラート不等式を用いて、Lebesgue空間およびSobolev空間におけるエンタルピーと温度の制御を行う。
• 時間に依存しない事前推定に依拠して、局所解を時間区間 [0, T] 全体にまで拡張するための背理法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱伝導と率に依存しない変化が結合された、形状記憶合金の3次元相転移モデルに対して、全域的弱解が存在しうるか。
• RQ2 率に依存しないプロセスと熱伝導を組み合わせた系において、熱的整合性をどのように維持できるか。
• RQ3 材料パラメータおよび初期データにどのような条件を課すと、温度が厳密に正である全域的解の存在が保証されるか。
• RQ4 エンタルピー表現を用いて、温度およびその勾配の全域的事前推定を導出可能か。
• RQ5 自由エネルギーおよび散逸関数にどのような正則性および構造的仮定を課すと、系は全域的解を有するか。

主な発見

• 初期データおよび材料パラメータの適切な正則性仮定のもとで、系は $[0,T]$ 上で全域的弱解 $(u, z, \theta)$ を有する。
• 解は $u \to {\rm W}^{1,q}(0,T; {\rm V}^p_0(\bar{Ω}))$, $z \to {\rm L}^∞(0,T; {\rm H}^1(Ω) \cap {\rm X}_{q,p}(Ω)) \cap {\rm H}^1(0,T; {\rm L}^2(Ω))$, および $\vartheta \in \mathcal{W}$ を満たし、$\vartheta > 0$ almost everywhere である。
• 最大存在時間 $\bar{\tau}$ が $T$ に等しいことを示す背理法により、全域的解の存在が確立される。
• $\beta_1 > \max(3, \frac{6}{5(1-p_1)})$ のとき、$\tau$ に依存しない $\vartheta$ の $\rm L^{2\alpha}(0,\tau; \rm L^\alpha(\Omega))$ における全域的推定が得られる。$\alpha \in (7/6, 4/3)$ である。
• 温度 $\theta = \zeta(\vartheta)$ は $\rm L^{2\beta_1\alpha}(0,\tau; \rm L^{\beta_1\alpha}(\Omega))$ に属し、$\beta_1\alpha > 4$ であるため、固定点法を全域にまで拡張可能である。
• $\nabla\vartheta$ の勾配推定を導出するためのテスト関数 $\chi = 1 - \frac{1}{(1+\vartheta)^\xi}$ を用い、ボッカードおよびガロエのアイデアにインspiredしている。