[論文レビュー] Global Existence Results for the Anisotropic Boussinesq System in Dimension Two

Raphaël Danchin, Marius Paicu|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Sep 29, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、運動方程式に水平方向の粘性係数のみ、または温度方程式に水平方向の拡散係数のみを有する2つの非等方的2次元Boussinesq系について、解の全域的存在および一意性を確立する。非等方的Besov空間の推定とエネルギー法を用いて、臨界正則性空間のデータに対して全域的適切性を証明し、Leray型の議論により大規模な初期データに対する全域的弱解を構成する。

ABSTRACT

We study the global existence issue for the two-dimensional Boussinesq system with horizontal viscosity in only one equation. We first examine the case where the Navier-Stokes equation with no vertical viscosity is coupled with a transport equation. Second, we consider a coupling between the classical two-dimensional incompressible Euler equation and a transportdiffusion equation with diffusion in the horizontal direction only. For the both systems and for arbitrarily large data, we construct global weak solutions `a la Leray. Next, we state global wellposedness results for more regular data. Our results strongly rely on the fact that the diffusion occurs in a direction perpendicular to the buoyancy force.

研究の動機と目的

• 運動方程式に水平方向の粘性係数のみが存在する2次元Boussinesq系の解の全域的存在を確立すること。
• 大規模な初期データに対して、臨界正則性空間（例：$H^s$ で $s \in (1/2,1]$）における全域的適切性の結果を拡張すること。
• 初期データが $\theta_0 \in H^s \cap L^\infty$ および $u_0 \in H^1$ の場合に、Lerayの枠組みに準拠した全域的弱解を構成すること。
• 完全な粘性または拡散が存在しない状況において、非等方的拡散/粘性が解の安定化に果たす役割を分析すること。

提案手法

• 水平方向の散逸を扱うために、非等方的Besov空間技法を用い、特に $s \in (1/2,1]$ の $B^{s}_{2,\infty}$ ノルムに注目する。
• 周波数局所化された成分 $\Delta_q w$ に対する $L^2$ 上でのエネルギー推定を用いて、速度および温度の時間発展を制御する。
• 非線形項 $u \cdot \nabla \theta$ および $u \cdot \nabla u$ を取り扱うために、$F_q(v,w)$ を用いたパラプロダクトおよび剰余項推定を適用する。
• 水平方向粘性 $\nu \partial_1^2 u$ を組み込むことで、$\partial_1 \Delta_q w$ 項の制御に不可欠な水平方向の滑らかさを獲得する。
• 時間依存の正則性指数 $s_t$ を用いたGronwall型不等式を時間領域に適用し、正則性の損失を制御する。
• Lerayのナビエ＝ストークス方程式における枠組みに従い、コンパクト性の議論と $L^\infty$ および $H^1$ 空間における弱連続性を用いて弱解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動方程式に水平方向の粘性係数のみが存在し、垂直方向の粘性が存在しない2次元Boussinesq系に対して、全域的かつ一意的な解を確立できるか？
• RQ2 温度方程式に水平方向の拡散係数のみが存在する場合、大規模な初期データに対しても解の全域的存在が保証されるか？
• RQ3 完全な粘性または拡散が存在しない状況において、非等方的拡散/粘性が解の正則性および長時間挙動に与える影響は、等方的系と比較してどのように異なるか？
• RQ4 完全な粘性が存在しない場合でも、正則性が低い初期データに対して、全域的弱解を構成できるか？
• RQ5 水平方向粘性を有する系において、$\sqrt{L}$ 空間における渇き（vorticity）が全域的適切性を保証する役割を果たすか？

主な発見

• 水平方向粘性のみを有する系（1）に対して、初期データ $\theta_0 \in H^s \cap L^\infty$ および $u_0 \in H^1$ で渇きが $\sqrt{L}$ に属する場合、$s \in (1/2,1]$ に対して全域的かつ一意的な解が存在する。
• 解は $\theta \in \mathcal{C}_w(\mathbb{R}_+; L^\infty) \cap \mathcal{C}(\mathbb{R}_+; H^{s-\varepsilon})$ および $u \in \mathcal{C}_w(\mathbb{R}_+; H^1)$ を満たし、$\omega \in L^\infty_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; \sqrt{L})$ である。
• 水平方向拡散係数のみを有する系（2）に対して、$\theta_0 \in H^1$ で $|\partial_1|^s \theta_0 \in L^2$ および $u_0 \in H^1$ で $\omega_0 \in L^\infty$ の場合、$s \in (1, 3/2)$ に対して全域的適切性が成立する。
• 非等方的粘性は水平方向の滑らかさを提供し、エネルギー推定において $\nu^{1/2} \|\partial_1 w\|_{L^2_t(B^{s-\varepsilon}_{2,\infty})}$ を用いて $\partial_1 \Delta_q w$ 項を制御可能となる。
• Besov空間における事前推定により、$\|\rho(t)\|_{B^{s_t}_{2,\infty}} \leq C \exp\left(\frac{C}{\eta} \int_0^T V(\tau) d\tau \right) \left( \|\rho_0\|_{B^s_{2,\infty}} + \|f\|_{L^1_t(B^{s_t}_{2,\infty})} \right)$ の形の有界性が得られ、全域的制御が保証される。
• 正則性が低いデータに対しては、コンパクト性および弱連続性を用いた議論により、Lerayの手法を非等方的設定に拡張した全域的弱解が構成される。