[論文レビュー] Global Exponential Stability of Almost Periodic Solution for A Large Class of Delayed Dynamical Systems

Wenlian Lu, Tianping Chen|ArXiv.org|Oct 30, 2006

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、時間変動係数および分散遅れ・混合遅れを含む広範なクラスの遅れ付き動的システムに対して、ほぼ周期的解のグローバル指数的安定性を確立する。先行の存在定理に依存しない新規なリャプノフ型アプローチを用いて、活性化関数およびシステムパラメータの緩い条件のもとで、すべての軌道が指数的速さで収束する一意なほぼ周期的解の存在を証明する。

ABSTRACT

Research of delayed neural networks with variable self-inhibitions, inter-connection weights, and inputs is an important issue. %In the real world, self-inhibitions, %inter-connection weights, and inputs should vary through time. In In this paper, we discuss a large class of delayed dynamical systems with almost periodic self-inhibitions, inter-connection weights, and inputs. This model is universal and includes delayed systems with time-varying delays, distributed delays as well as combination of both. We prove that under some mild conditions, the system has a unique almost periodic solution, which is globally exponentially stable. We propose a new approach, which is independent of existing theory concerning with existence of almost periodic solution for dynamical systems.

研究の動機と目的

• 時間変動係数を有する広範なクラスの遅れ付き動的システムにおけるほぼ周期的解の存在およびグローバル指数的安定性を確立すること。
• 離散遅れ、分散遅れ、および混合遅れのモデルを統一的に一つの一般枠組みに統合すること。
• 先行研究で一般的に課されていた制限的仮定（例えば、結合重みの下限）を排除すること。
• 複雑な既存理論（例：[14] の定理1.93）に依存しない、新規な解析的手法を開発し、存在性および安定性を証明すること。
• 係数を周期的または定数に設定することにより、周期的解および平衡点を特別な場合として拡張すること。

提案手法

• Lebesgue–Stieltjes積分を用いて、時間変動する自己抑制、結合重み、入力を有する一般遅れ付き動的システムを定式化し、離散遅れと分散遅れを統一的に扱う。
• 重み付きノルム $ \|u(t)\|_{\{\xi,\infty\}} = \max_i |\xi_i^{-1} u_i(t)| $ を含む新規なリャプノフ型関数を導入し、安定性を分析する。
• 任意の二つの解の差の指数的減衰を示すために、$ e^{\beta t} \|y(t)\|_{\{\xi,\infty\}} $ の微分に基づく比較議論を採用する。
• 活性化関数および結合重みの境界と $ \xi_i $, $ \beta $ を含む線形汎関数不等式を用いて十分条件を導出する。
• Bochnerの定理を介したほぼ周期関数の性質を用いて、システム係数の必要な正規性および有界性を保証する。
• 離散遅れ系および分散遅れ系の両方に対してこの手法を適用し、それぞれのケースにおける明示的な安定性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変動係数および混合遅れを有する一般遅れ付き動的システムが、一意なほぼ周期的解を有するための条件は何か？
• RQ2 先行理論からの制限的仮定に依存せずに、ほぼ周期的解のグローバル指数的安定性を確立できるか？
• RQ3 離散遅れ、分散遅れ、およびそれらの組み合わせを統合するフレームワークはどのように構築できるか？
• RQ4 活性化関数およびシステムパラメータに必要な最小限の条件は何か？ これにより、ほぼ周期的解への指数的収束が保証される。
• RQ5 提案手法は、係数を周期的または定数に設定することで、周期的解および平衡点を特別な場合として適用可能か？

主な発見

• 緩い条件下で、システム (5) は一意なほぼ周期的解を有し、それはグローバルに指数的に安定である。
• 収束速度は $ \|u(t) - v(t)\| = O(e^{-\beta t}) $ として定量的に評価され、$ \beta > 0 $ はシステムパラメータによって決定される。
• 離 discrete 遅れ系の場合 (40)、不等式 (41) が満たされ、ある $ \beta > 0 $ および正の重み $ \xi_i $ が存在する限り、グローバル指数的安定性が成立する。
• 分散遅れ系の場合 (44)、条件 (46) が満たされ、積分 $ \int_0^\infty e^{\beta s} |k_{ij}(s)| ds < \infty $ が収束する限り、グローバル指数的安定性が成立する。
• 本手法は [14] の定理1.93 に依存せず、$ |a_{ij}(t)| > c $ や $ |b_{ij}(t)| > c $ といった不要な制約を排除する。
• 本結果は、定数または時間変動遅れを有するCNNに関する先行研究 [11]、[12]、[13] を一般化・統合し、局所的安定性からグローバル指数的安定性へ拡張する。