[論文レビュー] Global Generalized Bianchi Identities for Invariant Variational Problems on Gauge-natural Bundles

Marcella Palese, Ekkehart Winterroth|ArXiv.org|Nov 5, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、事前に接続を仮定せずに、ゲージ・ナチュラルバンドル上の古典的ラグランジュ場理論に対して、グローバルな一般化 Bianchi 恒等式を確立する。一般化ゲージ・ナチュラルヤコビ同型写像を導入し、グローバルな変分リー微分を活用することで、保存電流の正規化されたグローバルに定義されたスーパーポテンシャルが、不変性と変分構造から内在的に存在することを証明し、共変場理論および一般相対性理論における長年の問題を解決する。

ABSTRACT

We derive both {\em local} and {\em global} generalized {\em Bianchi identities} for classical Lagrangian field theories on gauge-natural bundles. We show that globally defined generalized Bianchi identities can be found without the {\em a priori} introduction of a connection. The proof is based on a {\em global} decomposition of the {\em variational Lie derivative} of the generalized Euler--Lagrange morphism and the representation of the corresponding generalized Jacobi morphism on gauge-natural bundles. In particular, we show that {\em within} a gauge-natural invariant Lagrangian variational principle, the gauge-natural lift of infinitesimal principal automorphism {\em is not} intrinsically arbitrary. As a consequence the existence of {\em canonical} global superpotentials for gauge-natural Noether conserved currents is proved without resorting to additional structures.

研究の動機と目的

• バックグラウンド接続を仮定せずに、ゲージ・ナチュラル場理論におけるグローバルに一貫した Bianchi 恒等式が存在しない問題に対処する。
• ゲージ・ナチュラルバンドル上の古典的ラグランジュ場理論における保存電流およびそのスーパーポテンシャルを導くための幾何的枠組みを確立する。
• ラグランジュの不変性および変分構造のみを用いて、ネーター電流の正規化されたグローバルに定義されたスーパーポテンシャルの存在を証明する。
• 無限小主自己同型のゲージ・ナチュラルな持ち上げの役割を明確にし、それが任意ではなく、一般化ヤコビ同型写像の核によって制約されることを示す。
• 変分系列およびジャンクションの積分 by 部分技術を用いて、ゲージ・ナチュラルバンドル上の変分系列の枠組みで、一般化 Bianchi 恒等式のグローバルかつ内在的な導出を提供する。

提案手法

• 有限順序のゲージ・ナチュラルバンドルのジャンクション倍加への変分系列を定式化し、接触部分複体を modulo とする微分形式の商層を用いる。
• 一般化ゲージ・ナチュラルヤコビ同型写像を、オイラー＝ラグランジュ写像の変分リー微分として定義し、無限小主自己同型のゲージ・ナチュラルな持ち上げに制限する。
• 第二ノネル定理を適用して、一般化ヤコビ同型写像の核を一般化 Bianchi 写像の消滅と関連付ける。
• コラールの垂直写像のグローバル分解公式を用いて、ラグランジュの変動を Bianchi 項と発散項にグローバルに分解する。
• 一般化 Bianchi 写像を二階変動の商として表現し、それがゼロとなるのは、変動がヤコビ同型写像の核に属するときであることを示す。
• 局所的還元形態との差が発散項となるように、グローバルな層写像 ν(λ, K) を用いて正規化スーパーポテンシャルを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ・ナチュラル場理論において、バックグラウンド接続を導入せずに、グローバルに定義された一般化 Bianchi 恒等式が存在するための条件は何ですか？
• RQ2 接続などの追加幾何的構造に依存せずに、ネーター電流のスーパーポテンシャルをどのように内在的に構成できますか？
• RQ3 変分対称性の文脈において、無限小主自己同型のゲージ・ナチュラルな持ち上げの幾何的役割は何か？
• RQ4 一般化ゲージ・ナチュラルヤコビ同型写像の核と、一般化 Bianchi 写像の消滅との関係は何か？
• RQ5 変分系列の枠組みにおいて、ゲージ・ナチュラルバンドル上での保存電流およびそのスーパーポテンシャルの内在的でグローバルな構造は何か？

主な発見

• 一般化 Bianchi 写像 β(λ, G(¯Ξ)V ) がグローバルに消えるのは、無限小自己同型 G(¯Ξ)V のゲージ・ナチュラルな持ち上げが、一般化ゲージ・ナチュラルヤコビ同型写像 J(λ, G(¯Ξ)V ) の核に属するときである。
• 一般化 Bianchi 恒等式は、事前に接続を仮定せず、変分構造と不変性から内在的に導出可能である。
• 正規化されたグローバルに定義されたスーパーポテンシャル ν(λ, K) は、ゲージ・ナチュラルラグランジュ場理論におけるネーター電流に対して存在し、一般化ヤコビ同型写像の核から直接構成可能である。
• 局所的還元電流 ˜ǫ(λ, G(¯Ξ)V ) は、発散項の差異を除き、グローバルに電流 ǫ(λ, G(¯Ξ)V ) と同等である。強力な保存則 DH(ǫ(λ, K) − ˜ǫ(λ, K)) = 0 で表現される。
• 無限小主自己同型のゲージ・ナチュラルな持ち上げは任意ではない。その垂直成分は、一般化ヤコビ方程式を満たす必要があり、それは一般化ヤコビ同型写像の核に符号化されている。
• スーパーポテンシャルはグローバルに適切に定義されており、変分問題に内在的である。ν(λ, K) は V^{n-2}_{2s-1}(Yζ ×_X K) 内の正規化された層写像であり、補助データなしにグローバル保存則を保証する。