[論文レビュー] Global generalized characteristics for the Dirichlet problem for Hamilton-Jacobi equations at a supercritical energy level

Piermarco Cannarsa, Wei Cheng+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界領域におけるハミルトン=ヤコビ方程式の超臨界エネルギー準位における正則解のグローバルな特異点の伝播を確立し、特異点が一般化された特徴線に沿って伝播し、臨界点に収束することを証明する。解が境界付近でより強い仮定のもとでグローバルに半concaveかつ半convexであることを示し、非一様境界データを有するディリクレ問題への弱KAM理論の拡張を達成する。

ABSTRACT

We study the nonhomogeneous Dirichlet problem for first order Hamilton-Jacobi equations associated with Tonelli Hamiltonians on a bounded domain $Ω$ of $\R^n$ assuming the energy level to be supercritical. First, we show that the viscosity (weak KAM) solution of such a problem is Lipschitz continuous and locally semiconcave in $Ω$. Then, we analyse the singular set of a solution showing that singularities propagate along suitable curves, the so-called generalized characteristics, and that such curves stay singular unless they reach the boundary of $Ω$. Moreover, we prove that the latter is never the case for mechanical systems and that singular generalized characteristics converge to a critical point of the solution in finite or infinite time. Finally, under stronger assumptions for the domain and Dirichlet data, we are able to conclude that solutions are globally semiconcave and semiconvex near the boundary.

研究の動機と目的

• ハミルトン=ヤコビ方程式のディリクレ問題における超臨界エネルギー準位における正則解の正則性および特異構造を分析すること。
• 非一様境界データを有する有界領域における非一様ディリクレ問題への弱KAM理論の拡張すること。
• 一般化された特徴線に沿った特異点の伝播およびその収束挙動を特徴付けること。
• 領域および境界データに関するより強い幾何的・境界データ仮定のもとで、解のグローバルな半concavityおよび半convexityを確立すること。

提案手法

• 境界データの下での解の表現公式を、Mañéのポテンシャルおよび相対的基礎解を用いて、正則解を境界データの下界畳み込みとして特徴付ける。
• 弱KAM理論およびLax-Oleinik半群技法を用いて、解の構造およびその特異集合を分析する。
• 一般化された特徴線を、系のハミルトニアン力学に由来する曲線として導入し、特異点の伝播に沿うものとする。
• 正確な1形式によるラグランジアンの変更を用いて解析を単純化し、臨界値および解の構造を保存する。
• 領域内部における解の局所的半concavityおよびリプシッツ連続性を確立する。
• より強い幾何的および境界データ条件を課して、境界に近い領域におけるグローバルな半concavityおよび半convexityを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトン=ヤコビ方程式の正則解の特異点は、有界領域における超臨界エネルギー準位でどのように伝播するか？
• RQ2 一般化された特徴線はどのような条件下で境界に達するまで特異のままであり、いつ終了するか？
• RQ3 領域および境界データに関するより強い仮定のもとで、解は境界付近でグローバルに半concaveかつ半convexとなるか？
• RQ4 力学系における解のカットリージョンおよび特異集合の位相的構造は何か？
• RQ5 解の臨界点は一般化された特徴線の長期的挙動とどのように関係するか？

主な発見

• 正則解は領域 Ω の内部でリプシッツ連続かつ局所的半concaveである。
• 特異点は一般化された特徴線に沿って伝播し、Ω の境界に達しない限り特異のままである。
• 力学系において、一般化された特徴線は境界に到達せず、有限または無限時間のうちに解の臨界点に収束する。
• 領域および境界データに関するより強い仮定のもとで、解は境界付近でグローバルに半concaveかつ半convexである。
• 与えられた仮定のもとで、臨界値 cΩ(L) は負であるため、Mañéのポテンシャルの有限性および一意に定義された解の存在が保証される。
• すべての x, y ∈ ∂Ω に対して g(x) - g(y) ≤ ΦΩL(y,x) が成り立ち、表現公式と整合性が保たれる。