[論文レビュー] Global generation of the direct images of relative pluricanonical systems

Hajime Tsuji|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、正則的ファイバー空間 $ f: X \to Y $ に対して、十分に大きくかつ可除な $ m $ に対して、判別局所 $ \text{Disc}(f) $ の補集合上で、直接像層 $ f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/Y}) $ が globally generated であることを、正則的測度の多重正下調和変動および Monge-Ampère フォリエーションを用いて確立する。その結果、Kodaira次元の下加法性に関する Iitaka の予想が証明される。

ABSTRACT

We prove global generation of the direct images of relative pluricanonical systems of sufficiently large and divisible multiples over the complement of the discriminant locus.

研究の動機と目的

• 代数的ファイバー空間 $ f: X \to Y $ の判別局所の補集合上で、直接像層 $ f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/Y}) $ の global generation を確立すること。
• 直接像層 $ f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/Y}) $ が半正定であるが、それ以上でないという課題に対処するため、Monge-Ampère フォリエーションを用いてその零方向を分析すること。
• global generation の結果を用いて、Iitaka の予想（Kodaira次元の下加法性）を証明すること。
• 測度付き canonical モデルのモジュライ空間を構成し、そのモジュライ写像を介して直接像層をあるアーメンベルドの引き戻しとして実現すること。
• Bergman 核推移の推移的構成を用いて canonical Kähler 量を構成し、Bergman 核推移の推移的推移の推移を用いてその変動を分析すること。

提案手法

• 正則的測度の多重正下調和変動の性質を用いて、直接像の正性を制御する。
• Monge-Ampère フォリエーションの理論を適用し、半正定な直接像の零方向を同定・自明化する。
• 測度付き canonical モデルのモジュライ空間 $ \mathcal{M} $ を構成し、複素構造および分離位相を備える。
• Bergman 投影とその漸近的挙動を用いて、canonical Kähler 量の動的構成を行う。
• 空間 $ H^0(X, \mathcal{O}_X(A + mL) \otimes \mathcal{I}(h_L^m)) $ 上の Bergman 核 $ K_m $ を用い、その成長を推定することで、厳密に正の曲率を持つ特異ヘルミート計量 $ h_L^+ $ を構成する。
• Fatou の補題および正規化 Bergman 核における上限極限の議論を用いて、極限が消えないことを示し、曲率の正性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分に大きくかつ可除な $ m $ に対して、直接像層 $ f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/Y}) $ は、判別局所の補集合上で global generation とされるが、その半正定性にもかかわらず、それが可能かどうか。
• RQ2 半正定な直接像の零方向を体系的に分析・自明化し、global generation を達成する方法は何か。
• RQ3 解析的技法を用いて、正則的システムに適用することで、Kodaira 次元の下加法性（Iitaka の予想）を証明できるか。
• RQ4 Monge-Ampère フォリエーションは、直接像をあるモジュライ空間 $ \mathcal{M} $ からのアーメンベルドの引き戻しとして実現する上で果たす役割は何か。
• RQ5 Bergman 核およびその漸近的挙動は、厳密に正の曲率を持つ特異ヘルミート計量の構成にどのように寄与するか。

主な発見

• 十分に大きくかつ可除な任意の $ m $ に対して、$ Y \setminus \text{Disc}(f) $ 上で、層 $ f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/Y}) $ は global generation である。
• 対称冪をとった後、直接像層 $ f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/Y}) $ は、あるモジュライ空間 $ \mathcal{M} $ へのモジュライ写像を介して、アーメンベルドの引き戻しとして実現される。
• 構成された特異ヘルミート計量 $ h_L^+ $ の曲率のカレントは厳密に正であり、これにより関連するラインバンドルのアーメンベルド性が保証される。
• 極限 $ \limsup_{\ell \to \infty} \sqrt[m_0\ell]{K_{m_0\ell}^+} $ は恒等的にゼロではなく、かつ有限である。これは、非自明な切断の存在と正性を示唆する。
• 不等式 $ \limsup_{\ell \to \infty} \ell^{-n} \cdot \dim H^0(X, \mathcal{O}_X(\ell(m_0L - H)) \otimes \mathcal{I}(h_L^{m_0\ell})) > 0 $ が成り立ち、体積形式の正性が確認される。
• global generation の結果をもとに、Iitaka の予想（Kodaira 次元の下加法性）は副次的に確認される。