[論文レビュー] Global Gorenstein dimensions of polynomial rings and of direct products of rings

Driss Bennis, Najib Mahdou|ArXiv.org|Jan 3, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、Gorensteinホモロジー次元へのヒルベルトのシジージー定理の拡張を提示し、多項式環 R[X₁,…,Xₙ] のGorensteinグローバル次元が R のGorensteinグローバル次元に n を加えたものに等しいことを証明している。さらに、有限個の環の直積のGorenstein弱次元が、各因子のGorenstein弱次元の上限に等しいことを確立し、これにより、Gorenstein次元が有限だが古典的弱次元が無限大である非ネーター環の構成が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we extend the well-known Hilbert's syzygy theorem to the Gorenstein homological dimensions of rings. Also, we study the Gorenstein homological dimensions of direct products of rings. Our results generate examples of non-Noetherian rings of finite Gorenstein dimensions and infinite classical weak dimension.

研究の動機と目的

• 多項式環のGorensteinホモロジー次元へのヒルベルトのシジージー定理の一般化。
• 有限個の環の直積のGorensteinグローバルおよび弱次元の特徴付け。
• Gorenstein弱/グローバル次元は有限だが古典的弱次元が無限大である非ネーターな連続環の構成。
• 非ネーター設定における古典的次元とGorensteinホモロジー次元の関係の明確化。

提案手法

• Gorenstein射影的および平坦的モジュールを、Gorenstein射影的および平坦的モジュールを特徴付けるための道具として用いる。
• M が R 上で Gorenstein 射影的ならば、M[X] は R[X] 上で Gorenstein 射影的であることを証明し、Gorenstein 射影的次元に関する重要な不等式を確立する。
• 有限平坦次元の単射モジュールによる、直積環上の Gorenstein 平坦モジュールの特徴付けの応用。
• 連続環では、Gorenstein弱次元がモジュールの Gorenstein 平坦次元の上限によって有界であることを用いる。
• 特に、fd_{R₁×R₂}(F₁×F₂) = sup{fd_{R₁}(F₁), fd_{R₂}(F₂)} であることが知られている、直積環上のモジュールの平坦次元に関する既知の結果を活用する。
• 非半単純な準Frobenius環および非準遺伝的半遺伝的環を用いた反例の構成により、Gorenstein弱次元は有限でも古典的弱次元が無限大であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環の多項式拡張において、Gorensteinグローバル次元はどのように振る舞うか？
• RQ2 有限個の環の直積の Gorenstein 弱次元は何か？
• RQ3 Gorenstein弱次元は有限だが古典的弱次元が無限大である非ネーター環を構成できるか？
• RQ4 Gorensteinグローバルおよび弱次元が、それぞれの古典的対応物と一致する条件は何か？

主な発見

• 多項式環 R[X₁,…,Xₙ] の Gorenstein グローバル次元は、正確に G-gldim(R) + n に等しく、ヒルベルトのシジージー定理が Gorenstein 設定へ一般化される。
• 有限個の直積 ∏_{i=1}^m R_i の Gorenstein 弱次元は、各 R_i の Gorenstein 弱次元の上限に等しい。
• 任意の i ≥ 1 に対して、G-wdim(R) = i、G-gldim(R) > i、wdim(R) = ∞ を満たす非ネーターな連続環 R が存在する。
• 非半単純な準Frobenius環 R と、遺伝的でない半遺伝的環 S に対して、環 R × S[X₁,…,Xₙ] は G-wdim = n+1、G-gldim > n+1、wdim = ∞ を満たす。
• R がネーター環であるとき、R の Gorenstein グローバル次元が有限であることは、ある n に対して R が n-Gorenstein であることと同値である。
• Gorenstein弱次元およびグローバル次元は、古典的弱次元およびグローバル次元を精緻化しており、古典的弱次元が有限である場合には等しくなる。