[論文レビュー] Global Hadamard form for the Green Function in Schwarzschild space-time

Marc Casals, Brien C. Nolan|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2016

Astrophysical Phenomena and Observations被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、シュワルツシルト時空における遅延グリーン関数のグローバル・ハダマード形を導出し、通常の近傍を越えて、複数回の核心点通過に起因する寄与を含めた、完全な特異性構造を明示的に捉える。ベッセル関数展開とプレバニスキ＝ハチャヤン時空との関連を用いて、核心点通過回数でインデックス付けられたハダマード形の和としてグリーン関数を表現し、滑らかでないがグローバルに有効な構造を提供することで、自己力および場の伝搬計算の改善を可能にする。

ABSTRACT

The retarded Green function of a wave equation on a 4-dimensional curved background spacetime is a (generalized) function of two spacetime points and diverges when these are connected by a null geodesic. The Hadamard form makes explicit the form of this divergence but only when one of the points is in a normal neighbourhood of the other point. In this paper we derive a representation for the retarded Green function for a scalar field in Schwarzschild spacetime which makes explicit its {\it complete} singularity structure beyond the normal neighbourhood. We interpret this representation as a sum of Hadamard forms, the summation being taken over the number of times the null wavefront has passed through a caustic point: the sum of Hadamard forms applies to the non-smooth contribution to the full Green function, not only the singular contribution. (The term non-smooth applies modulo the causality-generating step functions that must appear in the retarded Green function.) The singularity structure is determined using two independent approaches, one based on a Bessel function expansion of the Green function, and another that exploits a link between the Green functions of Schwarzschild spacetime and Pleba{ń}ski-Hacyan spacetime (the latter approach also yields another representation for the {\it full} Schwarzschild Green function, not just for its non-smooth part). Our representation is not valid in a neighbourhood of caustic points. We deal with these points by providing a separate representation for the Green function in Schwarzschild spacetime which makes explicit its (different) singularity structure at caustics of this spacetime.

研究の動機と目的

• シュワルツシルト時空において、通常の近傍を越えて有効なグローバル表現に、遅延グリーン関数の局所的ハダマード形を拡張すること。
• 光線が核心点を通過する際のグリーン関数の特異性構造を明示的に特徴づけること。
• 複数回の核心点通過を考慮した、滑らかでないがグローバルに有効なグリーン関数の表現を提供すること。
• グリーン関数の完全な非滑らか寄与を解明することで、自己力および場の伝搬計算をより正確に可能にすること。
• グローバル形が崩壊する核心点におけるグリーン関数の別個の表現を導出すること。

提案手法

• シュワルツシルト時空におけるモード和分解のベッセル関数展開を用いて、遅延グリーン関数のグローバル表現を導出する。
• シュワルツシルト時空とプレバニスキ＝ハチャヤン時空のグリーン関数の間の関連を確立し、代替的なグローバル形を導出する。
• グリーン関数を、核心点通過回数（mod 4）に対応する異なるハダマード形の和として解釈し、4重の特異性構造を捉える。
• 因果性を生成するステップ関数 θ₊(x,x′) とシンゲ世界関数 σ₄d を用いて、因果構造および特異性支持を定義する。
• グリーン関数の非滑らか部分を表すために、ハダマール級数係数 Uₖ と Vₖ を適用し、Uₖ は1次ハダマール係数 U₀ から導出する。
• 直接部分 G_d を全グリーン関数から差し引くことにより、非直接グリーン関数 Gₙd を構築し、自己力尾積分の解析的評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュワルツシルト時空における遅延グリーン関数の特異性構造は、通常の近傍を越えてどのように完全に特徴づけられるか？
• RQ2 x から x′ への光線が複数回の核心点を通過する場合、グリーン関数の数学的形は何か？
• RQ3 グローバル・グリーン関数は、4で割った余りごとに異なる核心点通過回数に対応するハダマール形の和として表現可能か？
• RQ4 シュワルツシルト時空とプレバニスキ＝ハチャヤン時空との関連は、グリーン関数のグローバル表現をどのように促進するか？
• RQ5 標準的なグローバル形が失敗する核心点におけるグリーン関数の解析的構造は何か？

主な発見

• グローバル・グリーン関数は、核心点通過回数でインデックス付けられたハダマール形の和として表現され、4n、4n+1、4n+2、4n+3 個の核心点通過に対応して、それぞれ δ(σ₄d)、PV(1/σ₄d)、-δ(σ₄d)、-PV(1/σ₄d) の特異性型が循環する。
• グリーン関数の非滑らか寄与は、これらのハダマール形の和を取ることで捉えられ、主要および準主特異性の完全な記述が得られる。
• ベッセル関数展開とプレバニスキ＝ハチャヤン時空との対応関係という2つの独立した手法が、一貫したグローバル表現をもたらし、結果の妥当性を裏付ける。
• グローバル和形が複数の光線が集中するため崩壊する核心点におけるグリーン関数の別個の解析的表現が導出された。
• 非直接グリーン関数 Gₙd は、k≥1 の和として、Uₖ(2η)^k と Vₖ(η) を含む項の和として解析的に表現され、自己力尾積分の正確な評価が可能になる。
• 質量ゼロ極限（M=0）では、k≥1 の和が項ごとに消え、平坦時空における尾の不在が確認され、期待される結果と一致する。