[論文レビュー] Global higher integrability for minimisers of convex functionals with (p,q)-growth

Lukas Koch|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 49被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、q < (n+α)p/n の条件下で、(p,q)-成長を示す凸汎関数の最小化子について、空間変数xに関するα-ホルダー連続性を仮定し、Ω × ℝᵐ 上の W¹,q(Ω, ℝᵐ) のグローバル正則性を確立する。グローバル差分商法と緩和補題を用いて、点での最小化子および緩和最小化子（W¹,q における弱収束の意味で）の高階可積分性と高階微分可能性を証明し、領域や境界データに幾何的仮定を課さずに、局所的正則性結果を境界上にまで拡張する。

ABSTRACT

We prove global $W^{1,q}(\Omega,\mathbb{R}^m)$-regularity for minimisers of convex functionals of the form $\mathscr{F}(u)=\int_\Omega F(x,Du)\mathrm{d} x$. $W^{1,q}(\Omega,\mathbb{R}^m)$ regularity is also proven for minimisers of the associated relaxed functional. Our main assumptions on $F(x,z)$ are a uniform $\alpha$-H\"older continuity assumption in $x$ and controlled $(p,q)$-growth conditions in $z$ with $q<\frac{(n+\alpha)p}{n}$.

研究の動機と目的

• 空間変数xに関するα-ホルダー連続性を有する(p,q)-成長を示す凸汎関数の最小化子について、Ω × ℝᵐ 上のW¹,q(Ω, ℝᵐ) のグローバル正則性を確立すること。
• 局所的高階可積分性結果を、リーマン可積分領域の境界上まで含めたグローバル設定に拡張すること。
• 幾何的仮定を課さずに、点での最小化子および緩和最小化子（W¹,q における弱極限の意味で）の正則性を証明すること。
• 臨界閾値 q < (n+α)p/n の下で、(p,q)-成長およびxにおけるホルダー連続性の下で、局所的W¹,q_loc 正則性結果のグローバル版を提供すること。
• 緩和補題と事前推定を用いて、Lavrentiev現象がグローバルW¹,q 正則性を妨げないことを示すこと。

提案手法

• 非自励な汎関数に対して、[43] に由来するグローバル差分商法を、(p,q)-成長およびxにおけるα-ホルダー連続性を扱えるように適応する。
• 正則化されたq-成長汎関数に対して差分商を用いて事前推定を確立し、その後極限に移行することで、元の最小化子の正則性を回復する。
• 緩和フレームワークを用いて、緩和最小化子をW¹,q 内の列の弱収束として定義し、緩和された汎関数が適切に定義され、下半連続であることを保証する。
• 支配収束定理の変種を用いて近似列から極限最小化子へ移行するが、この際条件(H4)を用いてF(x, Du*φ_ε) の成長を制御する。
• 最小化子が必要な可積分性および収束性を満たすように、切り捨てと近似の手続きを実装する。
• 主要仮定(H1)–(H3)および(H4)が緩和プロセスおよび近似列においても保存されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 領域に幾何的仮定を課さずに、空間変数xに関するα-ホルダー連続性を有する凸(p,q)-成長汎関数の最小化子について、グローバルW¹,q 正則性を確立できるか？
• RQ2 元の汎関数がLavrentiev現象を示す場合でも、緩和最小化子フレームワークが高階可積分性をグローバルに保証できるか？
• RQ3 qの臨界閾値は、p, n, α の関数としてどのように表されるか？ すなわち、(p,q)-成長およびxにおけるホルダー連続性の下で、グローバルW¹,q 正則性が成立するためのqの上限は？
• RQ4 局所的下界制御を保証する条件(H4)が、グローバル正則性証明にどのように寄与するか？
• RQ5 変数指数p(x)や非一様成長（例：p_i(x)-成長）を有する汎関数に対しても、適切なホルダー連続性の下で結果を拡張できるか？

主な発見

• F(x,z) が (H1)–(H3) および (H4) を満たす限り、q < (n+α)p/n の条件下で、凸(p,q)-成長汎関数の緩和最小化子について、W¹,q(Ω, ℝᵐ) のグローバル正則性が確立される。
• 任意の 0 ≤ β < α に対して、最小化子のW¹, np/(n−β) 範囲は、汎関数値、境界データノルム、外部力ノルムのべき乗γによって上から押さえられる：||u||_W¹, np/(n−β) ≲ (1 + F(u) + ||g||_W¹+α,q + ||f||_Lq′)^γ。
• 証明は、境界項を処理するため[43] の技術を用いたグローバル差分商法に基づく事前推定に依存する。
• Lavrentiev現象は、緩和補題とW¹,pおよびW¹,q における近似列の収束を用いて、グローバルW¹,q 正則性を妨げないことが示された。
• 変数指数p(x)や非一様成長（例：p_i(x)-成長）を有する汎関数に対しても、対応する仮定(H1.1) もしくは (H1.2) が成立する限り、結果は拡張可能である。
• 二重相変化汎関数、非一様p(x)-ラプラシアン、およびより一般な非一様成長汎関数などの例は、仮定を満たし、したがってグローバルW¹,q 正則性を有する。