[論文レビュー] Global Hoelder continuity of solutions to quasilinear equations with Morrey data

Sun‐Sig Byun, Dian K. Palagachev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、モレッティ型のデータを有する擬線形楕円型方程式の弱解について、境界にまで及ぶグローバルなホルダー連続性を確立する。これは、ラジエンツカヤとウラーツェヴァの古典的結果を拡張するものである。非線形項に制御された成長条件または自然な成長条件を仮定し、領域に対して容量密度条件を課すことにより、解がグローバルに有界であり、ホルダー連続であることを証明している。これは、滑らかでない領域、たとえばフラクタル境界を有する領域に対しても成立する。

ABSTRACT

We deal with general quasilinear divergence-form coercive operators whose prototype is the $m$-Laplacean operator. The nonlinear terms are given by Carathéodory functions and satisfy controlled growth structure conditions with data belonging to suitable Morrey spaces. The fairly non-regular boundary of the underlying domain is supposed to satisfy a capacity density condition which allows domains with exterior corkscrew property. We prove global boundedness and Hoelder continuity up to the boundary for the weak solutions of such equations, generalizing this way the classical $L^p$-result of Ladyzhenskaya and Ural'tseva to the settings of the Morrey spaces.

研究の動機と目的

• 非滑らかな境界およびモレッティ空間に属するデータを有する擬線形楕円型方程式の弱解のグローバルなホルダー連続性を確立すること。
• ラジエンツカヤとウラーツェヴァの古典的 $ L^p $-基盤の正則性結果を、モレッティ空間枠組みへ一般化すること。
• 測度データおよび制御的または自然な成長条件を満たす非線形項を有する方程式へ正則性理論を拡張すること。
• フラクタル的または不規則な境界を有する領域、たとえば均一 $ m $-厚さ条件を満たす領域へも適用可能であることを示すこと。
• データの最小限の可積分性仮定のもとで、有界性およびホルダー連続性を統一的に扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• 弱解の変分的枠組みを $ W^{1,m}_0(\bar{\Omega}) $ に用い、勾配の存在および可積分性を保証する。
• 非線形項 $ \mathbf{a} $ および $ b $ に制御成長条件を課し、それぞれデータをモレッティ空間 $ L^{p,\lambda} $ および $ L^{q,\mu} $ に属させる。
• 滑らかでない領域を取り扱うために、容量密度条件（$ \mathbb{R}^n \setminus \Omega $ の均一 $ m $-厚さ）を適用する。
• 局所的ホルダー連続性を導くためにモーザー反復および振動推定を用い、これをグローバルに拡張する。
• 擬線形作用素のプロトタイプとして $ m $-ラプラシアンおよびその一般化の構造に依存する。
• 有界な弱解が、自然な構造条件のもとで、$ b $ の成長が緩和されても同じ事前推定を満たすという事実を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬線形楕円型方程式の弱解がグローバルにホルダー連続となるための、データおよび領域に関する条件は何か？
• RQ2 古典的 $ L^p $-基盤の正則性結果は、擬線形方程式のモレッティ空間設定へ拡張可能か？
• RQ3 下位項および測度データの可積分性が、モレッティ型スケールにおいて解の正則性にどのように影響するか？
• RQ4 境界が滑らかでない、あるいはフラクタル的境界を有する領域に対し、境界正則性理論をどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 有界な弱解がホルダー連続のままであるための、最小限の成長構造は何か？

主な発見

• 容量密度条件およびモレッティ空間データのもとで、ディリクレ問題の弱解は $ \overline{\Omega} $ でグローバルに有界かつホルダー連続である。
• ホルダー指数および定数は、方程式のデータおよび解の $ L^\infty $-ノルムに明示的に依存する。
• 結果は、外側コルクスループ性やライフェンベルク平坦境界を有する領域を含め、均一 $ m $-厚さ条件を満たす領域に対しても成立する。
• 古典的 $ L^p $-結果は、$ m $-ラプラシアン型作用素に対しても、モレッティ空間設定へ一般化可能である。
• 自然な構造条件のもとで、$ b $ の成長が $ |\xi|^{m(1-1/m^*)} $ から $ |\xi|^m $ に緩和されても、有界性およびホルダー連続性は保たれる。
• 振動推定およびモーザー反復による証明技法は、より弱い仮定のもとでも有効であり、グローバルな正則性を保証する。