[論文レビュー] Global hyperbolicity of renormalization for C^r unimodal mappings

Edson de Faria, Welington de Melo+1 more|ArXiv.org|Feb 27, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$r \geq 2 + \alpha$ かつ $\alpha$ が1に近い場合の $C^r$ 一様マップに対して、二次的臨界点をもつ再正規化作用素の全空間的双曲性を確立する。境界型極限集合上に双曲的構造の存在を証明し、$C^1$ 局所的および大域的安定多様体を構成し、一般の1パrameter族において、無限再正規化可能マップの集合がヒルベルト次元が1未満のカントール集合をなすことを示す。

ABSTRACT

In this paper we extend M. Lyubich's recent results on the global hyperbolicity of renormalization of quadratic-like germs to the space of C^r unimodal maps with quadratic critical point. We show that in this space the bounded-type limit sets of the renormalization operator have an invariant hyperbolic structure provided r ge 2+ alpha with alpha close to one. As an intermediate step between Lyubich's results and ours, we prove that the renormalization operator is hyperbolic in a Banach space of real analytic maps. We construct the local stable manifolds and prove that they form a continuous lamination whose leaves are C^1 codimension one, Banach submanifolds of the ambient space, and whose holonomy is C^{1+β} for some beta >0. We also prove that the global stable sets are C^1 immersed (codimension one) submanifolds as well, provided r ge 3+ alpha with alpha close to one. As a corollary, we deduce that in generic, one-parameter families of C^r unimodal maps, the set of parameters corresponding to infinitely renormalizable maps of bounded combinatorial type is a Cantor set with Hausdorff dimension less than one.

研究の動機と目的

• M. リュビチの実解析的関数に対する再正規化作用素の双曲性に関する結果を、二次的臨界点をもつ $C^r$ 一様マップへと拡張すること。
• 再正規化作用素の $C^r$ 框体において、境界型極限集合上に双曲的構造の存在を確立すること。
• 再正規化作用素の局所的および大域的安定多様体を構成し、その正則性および位相的性質を分析すること。
• 特に、無限再正規化可能パrameterの集合の構造に関して、$C^r$ 一様マップの1パrameter族に対する幾何学的および力学的帰結を導出すること。

提案手法

• 解析的性質とスペクトル推定を用いて、実解析的関数のバナッハ空間における再正規化作用素の双曲性を証明する。
• 強固な作用素枠組みと収縮補題を用いて、局所的安定多様体を $C^1$ コ dimension 1 の部分多様体として構成する。
• 小さなホロノミー推定と強固性の性質を用いて、安定ラミネーションの $C^{1+\beta}$ ホロノミーを確立する。
• ホルダーノルムと有界幾何学的推定を用いて、解析的枠組みから $C^r$ 枠組みへの不変分解の拡張を行う。
• 再正規化作用素のスカラープロダクト構造とスペクトル理論を用いて、強固性条件（B1–B6）を検証する。
• 局所的安定多様体定理を適用し、より高い正則性（$r \geq 3 + \alpha$）のもとで結果を大域的安定集合へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $r > 2$ である $C^r$ 一様マップの空間において、二次的臨界点をもつ再正規化作用素が全空間的双曲性を示すか？
• RQ2 再正規化作用素の局所的安定多様体が $C^1$ コ dimension 1 の部分多様体であり、$C^{1+\beta}$ ホロノミーをもつか？
• RQ3 どの正則性条件下で、再正規化作用素の大域的安定集合が $C^1$ に埋め込まれた部分多様体となるか？
• RQ4 一般の1パrameter族における無限再正規化可能マップに対応するパラメータ集合の位相的およびフラクタル的構造はいかなるものか？
• RQ5 無限再正規化可能パラメータ集合のヒルベルト次元は、族の正則性とどのように関係するか？

主な発見

• $r \geq 2 + \alpha$ かつ $\alpha$ が1に近い場合、$C^r$ 一様マップの境界型極限集合上で再正規化作用素は全空間的双曲的である。
• 局所的安定多様体が存在し、$C^1$ コ dimension 1 のバナッハ部分多様体であり、ある $\beta > 0$ に対して $C^{1+\beta}$ ホロノミーをもつ。
• $r \geq 3 + \alpha$ かつ $\alpha$ が1に近い場合、大域的安定集合は $C^1$ に埋め込まれたコ dimension 1 の部分多様体である。
• 一般の1パrameter族における $C^r$ 一様マップにおいて、有界な組み合わせ型の無限再正規化可能パラメータ集合は、ヒルベルト次元が1未満のカントール集合をなす。
• 再正規化作用素は、$C^r$ 框体において、有界性および収縮条件（B1–B6）を満たす意味で強固である。
• 安定ラミネーションは横断的に完全に不連結であり、$C^{1+\beta}$ ホロノミー写像をもつため、正則な幾何学的構造を保証する。