[論文レビュー] Global hypoellipticity of the Kohn-Laplacian $\Box_b$ on pseudoconvex CR manifolds

Tran Vu Khanh|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2010

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複素多様体に埋め込まれたコンpactで滑らかで擬強凸なCR多様体上において、厳密にCR-正実函数が存在し、弱い性質(P)を満たす場合に、接ベクトルCauchy-Riemann作用素 $\bar{\partial}_b$ に対する滑らかな解の全球的存在を確立し、Kohn-Laplacian $\Box_b$ の全球擬微分可能性を証明する。これらの結果は、幾何的制御のもとで、CR幾何におけるグローバル正則性および可解性の結果を、より広いクラスの多様体へと拡張する。

ABSTRACT

Let $X$ be a complex manifold and $M\subset X$ a compact, smooth, pseudoconvex CR manifold of dimension $2n-1$. (Here $n\ge 3$ or, in case $n=2$, it is made the extra assumption that $\dib_b$ has closed range on functions.) Assume that there exists a strictly CR-plurisubharmonic function in a neighborhood of $M$ in $X$. In this situation, there are here proved \begin{enumerate} \item[(i)] The global existence of $C^\infty$ solutions to the tangential Cauchy-Riemann operator $\dib_b$. \item[(ii)] The global hypoellipticity of the Kohn-Laplacian $\Box_b$, under the additional condition of "weak Property (P)". \end{enumerate}

研究の動機と目的

• コンパクトで擬強凸なCR多様体上における接ベクトルCauchy-Riemann作用素 $\bar{\partial}_b$ に対する $C^\infty$ 解の全球的存在を確立すること。
• 幾何的および解析的条件下でのKohn-Laplacian $\Box_b$ の全球擬微分可能性を調査すること。
• CR幾何における既知のグローバル正則性および可解性の結果を、高次元およびより一般の擬強凸設定へと拡張すること。
• 弱い性質(P)を導入し、$\Box_b$ の擬微分可能性を保証する十分条件として用いること。

提案手法

• CR多様体の近傍で厳密にCR-正実函数が存在することを用いて、多様体の幾何および曲率を制御する。
• 擬強凸CR多様体上での $\bar{\partial}_b$-Neumann問題を分析するために、複素解析および偏微分方程式の技法を適用する。
• $L^2$ 評価およびソボレフ空間論を用いて、解の存在性および正則性を証明する。
• 弱い性質(P)を導入し、$\Box_b$ の擬微分可能性を保証する主要な解析的条件として検証する。
• $n=2$ の場合に $\bar{\partial}_b$ が関数上で閉じた範囲を持つことにより、低次元における適切な定式化が保証されることに依存する。
• 幾何的仮定（擬強凸性、厳密に正実函数の存在）と解析的道具を組み合わせることで、グローバルな結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで擬強凸なCR多様体上において、接ベクトルCauchy-Riemann作用素 $\bar{\partial}_b$ が $C^\infty$ 範囲で全球可解となるのは、どのような幾何的および解析的条件下か？
• RQ2 このような多様体上でのKohn-Laplacian $\Box_b$ は全球的に擬微分可能となるか？ その条件は何か？
• RQ3 厳密にCR-正実函数の存在が、$\bar{\partial}_b$ および $\Box_b$ の可解性および正則性に与える影響は何か？
• RQ4 弱い性質(P)は、$\Box_b$ の擬微分可能性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 $\bar{\partial}_b$ が関数上で閉じた範囲を持つという追加仮定が必要となる $n=2$ の場合に、結果はどのように拡張されるか？

主な発見

• 近傍に厳密にCR-正実函数が存在するコンパクトで滑らかで擬強凸なCR多様体上では、$\bar{\partial}_b$ に対する $C^\infty$ 解の全球的存在が確立される。
• 弱い性質(P)が成り立ち、かつ厳密にCR-正実函数が存在する場合、Kohn-Laplacian $\Box_b$ は全球的に擬微分可能である。
• この結果は $n \geq 3$ に対して成り立ち、$n = 2$ においては $\bar{\partial}_b$ が関数上で閉じた範囲を持つことが前提となる。
• 幾何的条件である厳密なCR-正実性は、Levi形式および曲率に対する十分な制御を保証し、グローバル解析を可能にする。
• 弱い性質(P)は、$\Box_b$-解がデータが滑らかである限り滑らかであることを保証する十分条件として機能する。
• この解析は、以前のCR幾何におけるグローバル正則性および可解性の結果を統合・拡張し、より広いクラスの擬強凸CR多様体へと一般化する。