[論文レビュー] Global instability in the elliptic restricted three body problem

Amadeu Delshams, V. A. Kaloshin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、質量のない粒子（コメット）が楕円軌道を描く二つの主要天体の重力場の中で運動する制限的平面楕円三体問題（RPETBP）において、拡散軌道の存在を確立する。放物運動を分析し、放物的無限遠の多様体上の散乱写像を用いることで、任意の角運動量変化を示す擬似軌道を構成し、それらが真の軌道によってシャドーイングされることを示す。これにより、大きな角運動量の変動を伴うグローバル不安定性が証明される。

ABSTRACT

The restricted planar elliptic three body problem (RPETBP) describes the motion of a massless particle (a comet) under the gravitational field of two massive bodies (the primaries, say the Sun and Jupiter) revolving around their center of mass on elliptic orbits with some positive eccentricity. The aim of this paper is to show the existence of orbits whose angular momentum performs arbitrary excursions in a large region. In particular, there exist diffusive orbits, that is, with a large variation of angular momentum. The leading idea of the proof consists in analysing parabolic motions of the comet. By a well-known result of McGehee, the union of future (resp. past) parabolic orbits is an analytic manifold. In a properly chosen coordinate system these manifolds are stable (resp. unstable) manifolds of a manifold at infinity $P_\infty$, which we call manifold at parabolic infinity. On this manifold, it is possible to define two scattering maps, which contain the map structure of the homoclinic trajectories to it, i.e. orbits parabolic both in the future and the past. Since the inner dynamics inside $P_\infty$ is trivial, two different scattering maps are used. The combination of these two scattering maps permits the design of the desired diffusive pseudo-orbits. Using shadowing techniques and these pseudo orbits we show the existence of true trajectories of the RPETBP whose angular momentum varies in any predetermined fashion.

研究の動機と目的

• 制限的平面楕円三体問題（RPETBP）において、角運動量の変化が任意に大きい軌道の存在を示すこと。
• 角運動量の大きな変動を示す軌道を構成することで、RPETBPにおけるグローバル不安定性を確立すること。
• 無限遠の多様体 P∞ の安定・不安定多様体を用いて、放物的無限遠近傍の力学を分析すること。
• P∞ 上の散乱写像を用いてホモクリニクス軌道を符号化し、望みの角運動量挙動を示す擬似軌道を設計すること。
• シャドーイング技術を適用して、これらの擬似軌道をシステムの真の軌道に変換すること。

提案手法

• 著者らはMcGehee変換を用いて放物的軌道を分析し、未来および過去の放物的軌道の和集合が解析的多様体をなすことを明らかにする。
• これらの多様体は、無限遠における多様体 P∞ として知られる、安定・不安定多様体として特定される。
• P∞ 上には、未来および過去に放物的である軌道の動的挙動を捉える2つの異なる散乱写像が定義される。
• これらの2つの散乱写像の合成により、所望の角運動量変化を示す擬似軌道の設計が可能になる。
• 散乱写像の非自明な構造を活用して、角運動量の任意の変動を示す擬似軌道が構成される。
• シャドーイング技術を適用することで、これらの擬似軌道を真の軌道が C^1 で追跡することを証明し、拡散軌道の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限的平面楕円三体問題における軌道は、角運動量の変化が任意に大きくなることがあるか？
• RQ2 主天体の楕円運動が存在する中で、このような拡散軌道を構成するための力学的構造は何か？
• RQ3 放物的無限遠の多様体上での散乱写像は、角運動量の進化をどのように制御できるか？
• RQ4 RPETBPにおいて、所望の角運動量挙動を示す擬似軌道は、どの程度真の軌道によってシャドーイング可能か？
• RQ5 放物的無限遠の多様体の非自明な幾何構造は、グローバル不安定性の実現に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、角運動量の変動が任意に大きい拡散軌道がRPETBPに存在することを証明し、グローバル不安定性を確認する。
• 無限遠における多様体 P∞ は、ホモクリニクス軌道の動的挙動を符号化する2つの異なる散乱写像を支持する。
• 2つの散乱写像の合成により、任意の所望の角運動量変化を示す擬似軌道の体系的設計が可能になる。
• シャドーイング技術を用いることで、著者らはこれらの擬似軌道がシステムの真の軌道によって C^1 で追跡されることを確立する。
• 結果は、主天体の軌道の正の離心率の全範囲にわたり成り立つため、広範な楕円的配置における不安定性が確認される。
• 本手法は、非自励的かつ摂動を受けるハミルトニアン系において、所望の力学的挙動を示す軌道を構築するための強固なフレームワークを提供する。