[論文レビュー] Global inversion of nonsmooth mappings on Finsler manifolds

Jesús Á. Jaramillo, Óscar Madiedo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2012

Advanced Differential Geometry Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Finsler多様体上の局所リプシッツ連続写像がグローバルホメオモルフィズムであるための十分条件を、Finsler設定における一般化された微分概念を導入し、Hadamardの積分条件を拡張することによって確立する。もしClarkeの一般化された微分のコノルムが積分発散条件を満たしているならば、写像はグローバルに可逆であり、一般化されたヤコビアンのスペクトル的性質に基づくR^n上のリプシッツ写像への応用が含まれる。

ABSTRACT

We consider the problem of finding sufficient conditions for a locally Lipschitz mapping between Finsler manifolds to be a global homeomorphism. For this purpose, we develop the notion of Clarke generalized differential in this context and, using this, we obtain a version of the Hadamard integral condition for invertibility. As consequences, we deduce some global inversion and global injectivity results for Lipschitz mappings on $\mathbb{R}^n$ in terms of spectral conditions of its Clarke generalized differential.

研究の動機と目的

• Finsler多様体間の局所リプシッツ連続写像がグローバルホメオモルフィズムであるための十分条件を確立すること。
• Clarkeの一般化された微分を用いて、Finsler多様体上での滑らでない設定へとHadamardの積分条件を一般化すること。
• 一般化されたヤコビアンのスペクトル的性質に基づいて、R^n上のリプシッツ写像のグローバル可逆性および単射性の基準を導出すること。
• 有限次元空間における滑らでない写像のグローバル単射性および可逆性に関する先行結果を拡張すること。

提案手法

• Rademacherの定理からの極限微分を用いて、滑らかな多様体上での局所リプシッツ連続写像に対するClarkeの一般化された微分を導入する。
• Finsler多様体上でのClarkeの一般化された微分のノルムを定義し、上側スカラーDini導関数および局所リプシッツ定数と関連付ける。
• Finsler多様体上でのグローバル逆写像のための、Clarkeの一般化された微分のコノルムに関するHadamardの積分条件のバージョンを確立する。
• 一般化された微分の固有値を用いて、R^n写像のためのHadamard条件の変種を導出する。
• スペクトル的条件——特に、ゼロの近傍に固有値が存在しないこと——を用いてグローバル可逆性を導出する。
• f_t(x) = f(x) - tx のような摂動写像を用いた極限的議論と、f_tの単射性を利用してfのグローバル単射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Finsler多様体間の局所リプシッツ連続写像がグローバルホメオモルフィズムであるための条件は何か？
• RQ2 Clarkeの一般化された微分を用いて、Finsler多様体上での滑らでない写像へとHadamardの積分条件をどのように一般化できるか？
• RQ3 R^n上のリプシッツ写像のグローバル可逆性を保証する一般化されたヤコビアンのスペクトル的条件は何か？
• RQ4 一般化された微分のスペクトルギャップが複素平面でゼロに収束するコンパクトな円板の列を避ける場合、グローバル単射性を導けるか？
• RQ5 f_t(x) = f(x) - tx のような摂動は、fのグローバル単射性の証明にどのように寄与するか？

主な発見

• 局所リプシッツ連続写像がFinsler多様体間で定義される場合、そのClarkeの一般化された微分のコノルムの下限の積分が発散するならば、それはグローバルホメオモルフィズムである。
• R^n上のリプシッツ写像については、一般化された微分がゼロの近傍に固有値を持たない、すなわちスペクトルがゼロの周囲のドメインを避けるならば、グローバル可逆性が成立する。
• 一般化された微分のスペクトルが、実軸上に中心をもつゼロに収束するコンパクトな円板の列を避けるならば、グローバル単射性が保証される。
• 本稿では、∂f(x) のスペクトルが左半平面（Re(z) < 0）に含まれるならば、f はグローバルに単射であることを証明している。
• 重要な技術的結果として、逆行列ノルムがスペクトル関数 s(t) によって下から有界であることが示され、これが積分条件の発散を導く。
• 証明は、滑らでないバージョンの逆関数定理と、摂動 f_t を用いた極限的議論に依拠しており、f の単射性を導出する。