[論文レビュー] Global minimisers of cholesteric liquid crystal systems

S. J. Bedford|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2014

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、立方体領域におけるOseen-Frankエネルギー関数を用いたコレステリック液体結晶系のグローバル最小化子を研究する。ねじれ境界条件のもとで、十分に長いコレステリックピッチ（t < 1.06）のとき、定常配向子状態 n = (0,0,1) が一意のグローバル最小化子であることを証明し、低キラリティのコレステリック系におけるネマチック系の安定性を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we examine the modelling and minimisation of cholesteric liquid crystals systems within the Oseen-Frank theory. We focus on a cuboid domain with the frustrated boundary conditions ${\bf n}(0,x,y)=(1,0,0)$ and ${\bf n}(1,x,y)=(0,0,1)$. With general elastic constants, we find the unique global minimisers amongst functions of one variable and prove that these are global minimisers of the entire problem if the cholesteric pitch is sufficiently long. Finally we show that our analysis easily translates over the study the global stability of the constant state ${\bf n}(x,y,z) = (0,0,1)$ with unfrustrated boundary conditions.

研究の動機と目的

• Oseen-Frankエネルギー関数を用いたコレステリック液体結晶系のグローバル最小化子を厳密に分析すること。
• 3次元の直方体領域におけるねじれ境界条件のもとで、定常配向子状態 n = (0,0,1) の安定性を調査すること。
• アンワインドコレステリック状態がグローバルまたは局所的に安定である条件を確立すること、特にコレステリックピッチパラメータ t との関係を明らかにすること。
• t → 0 のとき、コレステリック系の挙動がネマチック系と連続的になること、および従来の弾性モデルにおける不整合を解消すること。
• ブルーフェーズやトロンに代表される欠陥のない状態の安定性に関する数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 一般の弾性定数を用いたOseen-Frank自由エネルギー関数を用い、鞍部エネルギー項（K₂ + K₄ ≠ 0）を含むことでコレステリックエネルギーをモデル化する。
• x, y 方向に周期的境界条件、z 方向にねじれ境界条件（n(0,x,y)=(1,0,0), n(1,x,y)=(0,0,1)）を課した直方体領域 Ω = (−L₁,L₁)×(−L₂,L₂)×(0,L₃) を分析する。
• 変分法的手法を用い、エネルギー差 I(n) − I(n*) を比較し、Sobolev型およびPoincaré型不等式を用いて関数の有界性を導出することでグローバル最小性を証明する。
• 1次元のアンサンブルを用いて1変数関数の範囲で一意のグローバル最小化子を特定し、その後長ピッチ条件のもとで3次元に拡張する。
• 物理的意味を保ちつつ解析を簡略化するため、1定数近似（K₁=K₂=K₃=K, K₄=0）を用いる。
• スペクトル推定とL²バインディングを用い、t < t* ≈ 1.06 のとき、エネルギー差 I(n) − I(n*) が正定値な2次形式によって下から抑えられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれ境界条件のもとで、コレステリック系におけるOseen-Frankエネルギーの定常配向子状態 n = (0,0,1) がグローバル最小化子となる条件は何か？
• RQ2 アンワインドコレステリック状態の安定性はコレステリックピッチパラメータ t にどのように依存し、グローバル安定性の閾値は何か？
• RQ3 3次元において定常状態の安定性を厳密に確立できるか？また、既知のネマチック液体結晶の結果に拡張可能か？
• RQ4 t → 0 のとき、コレステリック系におけるグローバル最小化子とヘリカル基底状態 (cos(tz), sin(tz), 0) の関係は何か？
• RQ5 t のある範囲で、定常状態は局所的最小化子ではあるがグローバル最小化子ではない場合があり、これによりメタ安定状態や欠陥を有する構造の存在が示唆されるか？

主な発見

• コレステリックピッチ t < t* ≈ 1.06 のとき、与えられた3次元直方体領域内において、定常状態 n = (0,0,1) はOseen-Frankエネルギー関数の唯一のグローバル最小化子である。
• エネルギー差 I(n) − I(n*) が (n − n*) のL²ノルムの正の定数倍によって下から抑えられることを示し、t < 1.06 のときグローバル安定性が保証される。
• t < π のとき、定常状態 n = (0,0,1) は厳密な強い局所的最小化子であるが、t > π のとき弱い局所的最小化子ではなくなる。
• 解析により、長ピッチ（小さい t）のコレステリック系はネマチック系と同様に振る舞い、定常状態がグローバルに安定であることが確認された。
• 一般の弾性定数およびねじれ境界条件のもとで、コレステリック系のグローバル最小化子の存在を初めて厳密に証明した。
• t のある範囲で、定常状態は局所的に安定であるがグローバル最小化子ではない可能性が示唆され、中間的な t に対して非自明な最小化子が存在する可能性を示した。