[論文レビュー] Global null-controllability and nonnegative-controllability of slightly superlinear heat equations

Kévin Le Balc’h|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 49被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、境界条件がディリクレ型またはノイマン型であるわずかに超線形の熱方程式に対して、新たな $L^1$ キャルレマン推定とカクタニ＝レーラー＝シューアの不動点定理を用いて、グローバルなゼロ可制御性および非負可制御性を確立する。非線形項 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$ における未解決のケース $\alpha \in [3/2, 2)$ を解消し、自由解が爆発を示す可能性があるにもかかわらず、任意の初期データが十分に大きな時間でゼロに制御可能であることを示している。

ABSTRACT

We consider the semilinear heat equation posed on a smooth bounded domain $Ω$ of $\mathbb{R}^{N}$ with Dirichlet or Neumann boundary conditions. The control input is a source term localized in some arbitrary nonempty open subset $ω$ of $Ω$. The goal of this paper is to prove the uniform large time global null-controllability for semilinearities $f(s) = \pm |s| \log^α(2+|s|)$ where $α\in [3/2,2)$ which is the case left open by Enrique Fernandez-Cara and Enrique Zuazua in 2000. It is worth mentioning that the free solution (without control) can blow-up. First, we establish the small-time global nonnegative-controllability (respectively nonpositive-controllability) of the system, i.e., one can steer any initial data to a nonnegative (respectively nonpositive) state in arbitrary time. In particular, one can act locally thanks to the control term in order to prevent the blow-up from happening. The proof relies on precise observability estimates for the linear heat equation with a bounded potential $a(t,x)$. More precisely, we show that observability holds with a sharp constant of the order $\exp\left(C |a|\_{\infty}^{1/2} ight)$ for nonnegative initial data. This inequality comes from a new $L^1$ Carleman estimate. A Kakutani's fixed point argument enables to go back to the semilinear heat equation. Secondly, the uniform large time null-controllability result comes from three ingredients: the global nonnegative-controllability, a comparison principle between the free solution and the solution to the underlying ordinary differential equation which provides the convergence of the free solution toward $0$ in $L^{\infty}(Ω)$-norm, and the local null-controllability of the semilinear heat equation.

研究の動機と目的

• 2000年以来未解決のままであった、非線形項 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$ に対して $\alpha \in [3/2, 2)$ の場合の半線形熱方程式におけるグローバルゼロ可制御性のギャップを埋めること。
• このような非線形項に対して、小時間におけるグローバル非負可制御性を確立し、爆発を防ぐ制御が可能であることを保証すること。
• 非負可制御性、比較原理、局所ゼロ可制御性を組み合わせることで、均一な大時間におけるグローバルゼロ可制御性を証明すること。
• 勾配に依存する非線形項を有する系や、適切な符号および成長条件を満たす反応拡散系に対しても、解析を拡張すること。

提案手法

• 有界なポテンシャルを伴う線形熱方程式に対して、新たな $L^1$ キャルレマン推定を導出し、非負の初期データに対して、定数 $\exp\left(C\|a\|_{\infty}^{1/2}\right)$ が鋭い観測可能性を保証する。
• 新しい $L^1$ キャルレマン推定を用いて、有界なポテンシャルを伴う線形方程式に対する $L^2$-$L^1$ 観測可能性不等式を確立する。
• カクタニ＝レーラー＝シューアの不動点定理を適用し、線形非負可制御性を半線形系へ拡張する。
• 自由解と常微分方程式の解との比較原理を用いて、十分に大きな時間における $L^\infty(\Omega)$-ノルムで自由解がゼロに収束することを示す。
• 半線形系の局所ゼロ可制御性と自由解の収束性を組み合わせることで、大時間におけるグローバルゼロ制御を構築する。
• 非線形項に符号および成長条件を満たす $m$ 個の連立系に対し、ベクトル値比較原理を用いて結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルナンドエス・カラとズアウア（2000年）が未解決として残した、非線形項 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$ に対して $\alpha \in [3/2, 2)$ の場合の半線形熱方程式におけるグローバルゼロ可制御性は確立可能か？
• RQ2 このような非線形項に対して、小時間におけるグローバル非負可制御性は達成可能か？ これにより、爆発を防ぐ制御が可能になるか？
• RQ3 非負の初期データを有する半線形熱方程式の自由解は、大時間において $L^\infty(\Omega)$-ノルムでゼロに収束するか？ ただし、制御がない場合には爆発が発生する可能性がある。
• RQ4 非線形項にどのような条件を課すと、超線形成長を示す連立半線形熱方程式系に対してグローバルゼロ可制御性が保証されるか？
• RQ5 非線形項が状態の勾配に依存する系や、方程式間で非線形項が結合する系に対しても、制御戦略を拡張可能か？

主な発見

• 本論文は、非線形項 $f(s) = \pm |s|\log^\alpha(2+|s|)$ に対して $\alpha \in [3/2, 2)$ の場合の半線形熱方程式について、任意の時間で初期データを非負状態に制御可能な小時間グローバル非負可制御性を確立する。
• 新たな $L^1$ キャルレマン推定により、非負の初期データに対して、定数 $\exp\left(C\|a\|_{\infty}^{1/2}\right)$ が鋭い観測可能性不等式を保証し、線形化系の制御が可能になる。
• 非負の初期データを有する半線形熱方程式の自由解は、$\alpha \in [3/2, 2)$ の場合、$t \to \infty$ のとき $L^\infty(\Omega)$-ノルムでゼロに収束する。 ただし、制御がない場合には爆発が発生する可能性がある。
• 非負可制御性、自由解の収束性、局所ゼロ可制御性を組み合わせることで、同じ非線形項クラスに対して均一な大時間におけるグローバルゼロ可制御性が証明された。
• 符号条件 $\sum f_i(r) \leq -C(\sum r_i)\log^\alpha(2 + \sum r_i)$ と $\alpha \in (1,2)$ を満たす $m$ 個の結合半線形熱方程式系に対しても、十分に大きな時間におけるグローバルゼロ可制御性が保証される。
• フレームワークはディリクレ型およびノイマン型の境界条件の両方に対して適用可能であり、同じ仮定のもとで同じ結果が成り立つ。