[論文レビュー] Global properties of indefinite metrics with parallel Weyl tensor

Andrzej Derdziński, W. Roter|ArXiv.org|Aug 30, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、共形平坦でもなく局所的に対称でもない（ECS多様体と呼ばれる）不定的擬リーマン多様体で、Weylテンソルが平行であるものを分類し、その局所的構造を零空間に平行な分布の次元に基づいて特定する。4より大きな無限に多くの次元において、コンパクトなECS多様体の存在を示し、非線形常微分方程式系の周期的解とモノドロミー行列を用いた構成法を用いる。

ABSTRACT

This is an exposition of some recent results on ECS manifolds, by which we mean pseudo-Riemannian manifolds of dimensions greater than 3 that are neither conformally flat nor locally symmetric, and have parallel Weyl tensor. All ECS metrics are indefinite. We state two classification theorems, describing the local structure of ECS manifolds, and outline an argument showing that compact ECS manifolds exist in infinitely many dimensions greater than 4. We also discuss some properties of compact manifolds that admit ECS metrics, and provide a list of open questions about compact ECS manifolds.

研究の動機と目的

• 4次元以上で、Weylテンソルが平行であり、共形平坦でもなく局所的に対称でもない擬リーマン多様体（ECS多様体）の局所的構造を分類すること。
• 4より大きな無限に多くの次元において、コンパクトなECS多様体の存在を確立すること。
• ECS計量をもつコンパクト多様体のグローバルな性質を分析し、その文脈における未解決問題を特定すること。
• 「共形対称性」という用語の他の用法との曖昧さを避けるために、代わりに「平行Weylテンソル」という用語を導入して用語の明確化を図ること。

提案手法

• 次元d ∈ {1,2}の零空間に平行な分布（Olszak分布）を用い、dに応じてECS多様体の局所的分類を実行する。
• 問題を非線形常微分方程式系の解法に還元する：周期的関数x(t)と定数a, b, c（a + b + c = 0）に対して、ẋ + x² = f + aを満たすものとする。
• 各解の七重組(α,β,γ,f,a,b,c)に、1周期にわたるα,β,γの負の積分の指数関数をとった三重組(λ,μ,ν)を割り当てるスペクトル写像spec: F_p → ℝ³を導入する。
• 定数でない解の像（F_p \\(mathcal{C}）は、不等式 0 < λ < μ < ν、λ < 1 < ν、λμ < 1 < μν、およびλν ≠ 1 を満たす開集合𝒰 ⊂ ℝ³であることを示す。
• 非線形常微分方程式系の周期的解からモノドロミー行列を構成し、その固有多項式が𝒰に属する指定された三重組(λ,μ,ν)と一致することを保証する。
• 3次元系の直積を用いて高次元空間へ一般化し、スペクトル的およびモノドロミー的性質を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元以上で平行WeylテンソルをもつECS多様体の局所的構造は何か？
• RQ2 4より大きな無限に多くの次元において、コンパクトなECS多様体は存在するか？
• RQ3 ECS計量をもつコンパクト多様体が有するグローバルな位相的および幾何的性質は何か？
• RQ4 モノドロミー作用素のスペクトル不変量は、コンパクトなECS多様体の存在とどのように関係するか？
• RQ5 コンパクトなECS多様体の位相的および幾何的性質に関する未解決問題は何か？

主な発見

• 平行Weylテンソルとスカラー曲率が0であることから、すべてのECS多様体はスカラー曲率が0であり、曲率が調和的である。
• すべてのECS多様体において、Olszak分布は次元d ∈ {1,2}の零空間に平行な分布であり、Weylテンソルが2形式の対称積であるときかつそのときに限りd = 2である。
• 次元n ≥ 5の無限に多くの次元において、コンパクトなECS多様体が存在する。これは、非線形常微分方程式系の周期的解と、指定されたモノドロミー固有値をもつ構成法によって得られる。
• 定数でない解の可能なスペクトル三重組(λ,μ,ν)の集合は、不等式 0 < λ < μ < ν、λ < 1 < ν、λμ < 1 < μν、およびλν ≠ 1 を満たす開集合𝒰 ⊂ ℝ³である。
• この構成法により、任意の(λ,μ,ν) ∈ 𝒰を、非線形常微分方程式系の周期的解のモノドロミー作用素の固有値として実現でき、コンパクトなECS多様体が得られる。
• この方法は、3次元系の直積をとることで高次元に一般化でき、スペクトル的およびモノドロミー的構造が保たれる。