[論文レビュー] Global Prym-Torelli for double coverings ramified in at least 6 points

Juan Carlos Naranjo, Ángela Ortega|arXiv (Cornell University)|May 22, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$r$ 個の点で分岐する2次被覆に対し、関連するプリム多様体を割り当てる分岐 Prym 写像 $\mathcal{P}_{g,r}$ が、すべての $g > 0$ および $r \geq 6$ に対して埋め込みであることを証明している。さらに、$r = 2$ および $r = 4$ の場合、双曲的曲線の被覆に制限した写像の纤维が正次元を持つことを、ビゴナル構成とプリム多様体の双対性を用いて、有理写像としての観点から解析した。

ABSTRACT

We prove that the ramified Prym map $\mathcal P_{g, r}$ which sends a covering $π:D\longrightarrow C$ ramified in $r$ points to the Prym variety $P(π):= ext{Ker}( ext{Nm}_π)$ is an embedding for all $r\ge 6$ and for all $g(C)>0$. Moreover, by studying the restriction to the locus of coverings of hyperelliptic curves, we show that $\mathcal P_{g, 2}$ and $\mathcal P_{g, 4}$ have positive dimensional fibers.

研究の動機と目的

• すべての $g > 0$ および $r \geq 6$ に対して、分岐 Prym 写像 $\mathcal{P}_{g,r}$ がグローバルに単射（つまり埋め込み）であるかどうかを同定すること。
• 非分岐の場合に古典的に知られている一般化された四角的構成が、分岐設定に拡張されるかどうかを調査すること。
• 非分岐の場合の予想とは反して、$r \geq 6$ の場合に $\mathcal{P}_{g,r}$ が単射であるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• $r = 2$ および $r = 4$ の場合に、ハイパーガイポテンシャル曲線の被覆に制限した $\mathcal{P}_{g,r}^h$ の纤维の構造を分析すること。

提案手法

• 分岐 Prym 写像 $\mathcal{P}_{g,r}$ の微分を、コデュアル写像 $\operatorname{Sym}^2 H^0(C, \omega_C \otimes \eta) \to H^0(C, \omega_C^2 \otimes \mathcal{O}(B))$ を用いて分析し、クリフォード指数と次数の上限を用いて $r \geq 6$ の場合に単射であることを示した。
• ハイパーガイポテンシャル曲線の2重被覆にビゴナル構成を適用し、被覆のプリム多様体が、 genus $\frac{r}{2} - 1$ の関連する被覆のプリム多様体の双対に同関係することを明らかにした。
• ビゴナル構成、忘却写像、極化アーベル多様体の双対性を含む図式の可換性を用いて、$\mathcal{P}_{g,r}^h$ の纤维を、忘却写像の纤维と有理写像として同定した。
• 既知の $\mathcal{P}_{1,r}$ の $r \geq 6$ の場合の単射性（伊田による結果）を応用し、$\mathcal{P}_{g,r}^h$ がその場合に単射であることを導いた。
• 一般化された四角的構成と線形系の理論を用いて、微分が全射でない場合の特異な状況を特徴づけ、$r = 2, 4$ の例外的な場合を同定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐 Prym 写像 $\mathcal{P}_{g,r}$ は $r \geq 6$ の場合にグローバルに単射であるか？
• RQ2 $r = 2$ または $r = 4$ の場合に、$\mathcal{P}_{g,r}$ に正次元の纤维が存在するか？
• RQ3 $r = 2$ および $r = 4$ の場合に、ハイパーガイポテンシャル曲線を底曲線とする制限 $\mathcal{P}_{g,r}^h$ の纤维の構造を明示的に記述できるか？
• RQ4 ビゴナル構成は、$\mathcal{P}_{g,r}^h$ の纤维解析を可能にする有理写像を提供するか？
• RQ5 関連する被覆のプリム多様体の間には双対性があり、$r = 2, 4$ の場合の纤维構造を説明できるか？

主な発見

• すべての $g > 0$ および $r \geq 6$ に対して、分岐 Prym 写像 $\mathcal{P}_{g,r}$ は埋め込みである。これは、この場合におけるグローバルな Prym-Torelli 定理の確立を意味する。
• $r = 2$ の場合、$\mathcal{P}_{g,2}^h$ の一般纤维は、射影平面 $\mathbb{P}^2$ と有理写像で同定される。
• $r = 4$ の場合、$\mathcal{P}_{g,4}^h$ の一般纤维は、楕円曲線と有理写像で同定される。
• $\mathcal{P}_{g,r}$ の微分はすべての $r \geq 6$ に対して単射であり、これは埋め込み性を示すための重要な段階である。
• ビゴナル構成は、$\mathcal{RH}_{g,r}$ と $\mathbb{P}^1$ 上の被覆のモジュライ空間との間で有理写像を提供し、$r = 2, 4$ の場合の纤维解析を可能にする。
• $r = 2$ および $r = 4$ の場合の $\mathcal{P}_{g,r}^h$ の纤维は、正次元の纤维を持つ忘却写像に由来し、それぞれ $\mathbb{P}^2$ および楕円曲線である。