[論文レビュー] Global regularity and convergence of a Birkhoff-Rott-alpha approximation of the dynamics of vortex sheets of the 2D Euler equations

Claude Bardos, Jasmine S. Linshiz+1 more|ArXiv.org|Feb 19, 2009

Navier-Stokes equation solutions参考文献 65被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2次元Euler-α方程式から導かれた正則化されたBirkhoff-Rott-αモデルを紹介し、渦膜のダイナミクスを研究する。初期にリプシッツ連続、ホルダー連続、あるいはそれ以上の高階ホルダー連続性を持つ渦膜に対して、解の全域的存在性と正則性を証明し、初期渦度が符号付きRadon測度である場合にEuler-α解が元のEuler方程式の弱解に収束することを確立する。

ABSTRACT

We present an alpha-regularization of the Birkhoff-Rott equation, induced by the two-dimensional Euler-alpha equations, for the vortex sheet dynamics. We show the convergence of the solutions of Euler-alpha equations to a weak solution of the Euler equations for initial vorticity being a finite Radon measure of fixed sign, which includes the vortex sheets case. We also show that, provided the initial density of vorticity is an integrable function over the curve with respect to the arc-length measure, (i) an initially Lipschitz chord arc vortex sheet (curve), evolving under the BR-alpha equation, remains Lipschitz for all times, (ii) an initially Holder C^{1,beta}, 0 <= beta < 1, chord arc curve remains in C^{1,beta} for all times, and finally, (iii) an initially Holder C^{n,beta}, n <= 1, 0 < beta < 1, closed chord arc curve remains so for all times. In all these cases the weak Euler-alpha and the BR-alpha descriptions of the vortex sheet motion are equivalent.

研究の動機と目的

• 渦膜に対する古典的Birkhoff-Rott方程式がケルビン＝ヘルムホルツ不安定性によって不適定問題となることへの対処。
• 物理的構造を保った正則化のもとで、渦膜の時間発展に対する全域的正則性と長時間存在性の確立。
• 初期渦度が符号付きRadon測度である場合に、Euler-α方程式の解が元の2次元Euler方程式の弱解に収束することの証明。
• 渦膜の初期正則性条件に応じて、弱Euler-α解とBR-α解の記述が等価であることを示すこと。

提案手法

• 2次元Euler-α方程式から導かれたBirkhoff-Rott-α（BR-α）方程式を導入。滑らかなカーネルを用いた非局所的正則化速度場を提供する。
• Euler-αモデルを、元のEuler系の非圧縮性および保存則を保った粘性的正則化として用いる。
• 初期渦度が曲線上に集中し、符号が固定されている場合に、弱解理論およびRadon測度論を適用する。
• 渦膜曲線のホルダーおよびリプシッツ正則性推定を用いて、曲率および微分の成長を制御する。
• Lebesgueの収束定理および正則化カーネルの漸近的解析を用いて、特異積分を制御する。
• エネルギーおよび微分推定を用いて、初期正則性仮定のもとでBR-α解と弱Euler-α解の記述の等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 渦膜に対するBirkhoff-Rott方程式は、物理的に妥当な初期条件のもとで、全域的解の存在と滑らかな時間発展を保証する正則化が可能か？
• RQ2 初期渦度が符号付きRadon測度である場合、Euler-α方程式の解は、元の2次元Euler方程式の弱解に収束するか？
• RQ3 初期渦膜の正則性仮定（例：リプシッツ、C^{1,β}、C^{n,β}）が何である場合に、BR-α解がすべての時間で一様に正則のままであるか？
• RQ4 十分な正則性と固定符号の渦度を持つ初期データに対して、弱Euler-α解とBR-α解の記述は等価か？
• RQ5 BR-αモデル下で、渦膜発展における特異性形成を防ぐ正則性の閾値は何か？

主な発見

• 初期渦度が符号が固定された有限Radon測度である場合、Euler-α方程式の解はα → 0のとき、2次元Euler方程式の弱解に収束する。
• 初期渦膜がリプシッツ連続かつチャードアーク条件を満たす場合、BR-α解はすべての時間でリプシッツ連続であり、リプシッツ定数が一様に有界である。
• 初期渦膜がC^{1,β}（0 ≤ β < 1）かつチャードアーク条件を満たす場合、BR-α解はすべての時間でC^{1,β}にあり、ホルダーノルムが一様に制御される。
• 初期渦膜がC^{n,β}（n ≥ 1 かつ 0 < β < 1）にあり、閉曲線かつチャードアーク条件を満たす場合、BR-α解はすべての時間でC^{n,β}に留まる。
• 上記の正則性条件のもとで、弱Euler-α解とBR-α解の渦膜運動記述は等価である。
• 正則化により曲率の爆発が防がれ、古典的Birkhoff-Rott方程式で見られる有限時間での特異性形成が回避される。