[論文レビュー] Global regularity for solutions of the Navier-Stokes equation sufficiently close to being eigenfunctions of the Laplacian

Evan Miller|arXiv (Cornell University)|May 28, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、解がラプラシアンの固有関数に十分に近い場合に、解が大域的正則のままであることを示すことによって、3次元ナビエ＝ストークス方程式に対するスケール臨界な正則性基準を確立する。この近さは、同調したソボレフ空間内挿補不等式における欠損項によって測定される。主な結果は、$\dot{H}^\alpha$ ノルムにスペクトル欠損項 $1 - \|u\|_{\dot{H}^{\alpha-1}}^4 / (\|u\|_{\dot{H}^{\alpha-2}} \|u\|_{\dot{H}^\alpha})$ を重み付けしたノルムの積分が爆発する場合、有限時間での爆発が防がれるという爆発基準である。

ABSTRACT

In this paper, we will prove a new, scale critical regularity criterion for solutions of the Navier--Stokes equation that are sufficiently close to being eigenfunctions of the Laplacian. This estimate improves previous regularity criteria requiring control on the $\dot{H}^\alpha$ norm of $u,$ with $2\leq \alpha<\frac{5}{2},$ to a regularity criterion requiring control on the $\dot{H}^\alpha$ norm multiplied by the deficit in the interpolation inequality for the embedding of $\dot{H}^{\alpha-2}\cap\dot{H}^{\alpha} \hookrightarrow \dot{H}^{\alpha-1}.$ This regularity criterion suggests, at least heuristically, the possibility of some relationship between potential blowup solutions of the Navier--Stokes equation and the Kolmogorov-Obhukov spectrum in the theory of turbulence.

研究の動機と目的

• 3次元ナビエ＝ストークス方程式の新しい正則性基準を確立し、スケール臨界であり、ラプラシアンの固有関数への近接性に基づくものとする。
• 既存のラジャンツィャ＝プロジ＝セリーン型基準を、解がラプラシアンの固有関数であるかの程度を定量化するスペクトル欠損項を組み込むことで精緻化する。
• 解の $\dot{H}^\alpha$ ノルムにスペクトル欠損項を重み付けしたものの積分が爆発時間に近づくにつれて発散する場合、有限時間での爆発が排除されることを示す。
• 解のスペクトル構造を介して、乱流理論におけるコルモゴロフ＝オブフコフスペクトルと解の正則性を結びつける。

提案手法

• 同調したソボレフ空間内挿補不等式 $\|f\|_{\dot{H}^{\alpha-1}}^2 \leq \|f\|_{\dot{H}^{\alpha-2}} \|f\|_{\dot{H}^\alpha}$ における欠損項を重みとする速度場の $\dot{H}^\alpha$ ノルムを用いて、新たな正則性基準を定義する。
• 弱解表現と熱半群を用いて、勾配の $L^2$ ノルムに関するエネルギー型不等式を導出する。
• ホルダーの不等式とスペクトル支持条件（フーリエ空間上での中空領域）を適用し、欠損項を評価し、$\dot{H}^\alpha$ ノルムと関連付ける。
• 内挿補不等式の最良定数が1であり、等号成立はラプラシアンの固有関数でのみであることを証明する。$\mathbb{R}^3$ 上では $\dot{H}^{\alpha-2} \cap \dot{H}^\alpha$ に非自明な固有関数が存在しないため、欠損項は常に正である。
• フーリエ変換の台が $\operatorname{supp} \hat{u} \subset \{ \xi : R_1(t) \leq |\xi| \leq R_2(t) \}$ であることを用いて、スペクトル欠損項の下界を $R_1^4 / R_2^4$ の形で得る。これはバンドの狭さを定量化する。
• 爆発基準を確立する：$\int_0^{T_{\max}} \|u\|_{\dot{H}^\alpha}^p (1 - R_1^4 / R_2^4)^{p/2} dt = +\infty$ ならば、$T_{\max} = +\infty$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式の正則性基準を、解がラプラシアンの固有関数にどれほど近いかに基づいて定式化できるか。
• RQ2 内挿補不等式 $\|f\|_{\dot{H}^{\alpha-1}}^2 \leq \|f\|_{\dot{H}^{\alpha-2}} \|f\|_{\dot{H}^\alpha}$ におけるスペクトル欠損項が、固有関数への近接度を意味的に測定でき、既存の正則性基準を改善するか。
• RQ3 解の $\dot{H}^\alpha$ ノルムにスペクトル欠損項を重み付けしたものの積分が爆発時間に近づくにつれて発散する場合、有限時間での爆発を排除できるか。
• RQ4 解のスペクトル集中（例えば、中空領域としてのフーリエ支持）とナビエ＝ストークス方程式における爆発の可能性との関係は何か。
• RQ5 この新しい基準は、乱流理論におけるコルモゴロフ＝オブフコフエネルギースペクトルと結びつけることができるか。

主な発見

• 本稿は、$\int_0^{T_{\max}} \| -\Delta u - \lambda u \|_{L^q}^p dt = +\infty$ が成り立つ場合に $T_{\max} = +\infty$ であるという新しい正則性基準を証明する。ここで $p, q$ は $2/p + 3/q = 3$ を満たす。これはスケール臨界であり、ラプラシアンの固有関数への近接度を測る。
• $L^2$ 場合、基準は $\int_0^{T_{\max}} \| -\Delta u \|_{L^2}^{4/3} \left(1 - \frac{\|\nabla u\|_{L^2}^4}{\|u\|_{L^2}^2 \| -\Delta u \|^2_{L^2}} \right)^{2/3} dt = +\infty$ となる。
• フーリエ変換が中空領域 $R_1 \leq |\xi| \leq R_2$ に台を持つとき、スペクトル欠損項 $1 - \|u\|_{\dot{H}^{\alpha-1}}^4 / (\|u\|_{\dot{H}^{\alpha-2}} \|u\|_{\dot{H}^\alpha})$ は $1 - R_1^4 / R_2^4$ で下から抑えられ、スペクトル集中の定量的測度が得られる。
• 内挿補不等式 $\|f\|_{\dot{H}^{\alpha-1}}^2 \leq \|f\|_{\dot{H}^{\alpha-2}} \|f\|_{\dot{H}^\alpha}$ の最良定数は1であり、$\mathbb{R}^3$ 上では $\dot{H}^{\alpha-2} \cap \dot{H}^\alpha$ に非自明なラプラシアン固有関数が存在しないため、等号は達成されず、欠損項は常に正である。
• 解が $R_1(t)/R_2(t) \to 1$ が $\|u\|_{\dot{H}^\alpha}$ の増加と比較して速すぎる場合、$R_2(t) \to \infty$ であっても、中空領域フーリエバンドに集中していると、有限時間での爆発は排除される。
• 本稿は、潜在的なナビエ＝ストークスの爆発とコルモゴロフ＝オブフコフスペクトルとのヒューリスティックな関連を示唆しており、スペクトル欠損項が乱流におけるエネルギーキャスケードを反映している可能性がある。