[論文レビュー] Global regularity of 2D density patches for inhomogeneous Navier-Stokes

Francisco Gancedo, Eduardo García-Juárez|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、初期データや密度ジャンプに小刻みの仮定を課さずに、非一様ナビエ＝ストークス方程式における2次元密度パッチのグローバルな $C^{1+\gamma}$ 正則性を確立する。双曲型微分積分計算と、リプシッツパッチが $$\dot{B}_{\infty,\infty}^{-1+\gamma}$$ において乗数であるという事実を用いて、初期速度が $H^{\gamma+s}$ に属する $s\in(0,1-\gamma)$ の場合、$C^{1+\gamma}$ 正則性および曲率の保存が時間全域で保たれることを証明する。

ABSTRACT

This paper is about Lions' open problem on density patches \cite{LIONS}: whether inhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations preserve the initial regularity of the free boundary given by density patches. Using classical Sobolev spaces for the velocity, we first establish the propagation of $C^{1+γ}$ regularity with $0

研究の動機と目的

• 非一様2次元ナビエ＝ストークス方程式における密度パッチの $C^{1+\gamma}$ 正則性が時間全域で保存されるかどうかというリヨンの未解決問題に取り組む。
• ボウシネスク系と比較して正則性伝播が複雑化する密度と速度の準線形結合を克服する。
• 初期データに任意の正の密度ジャンプを許容し、速度や密度に小刻みの仮定を課さずにグローバル正則性を確立する。
• パッチ境界の曲率を、接ベクトル場の時間発展方程式を制御することによって $C^{2+\gamma}$ 正則性にまで拡張する。
• $C^{\gamma}$ 範囲の主要な量の時間に関する $L^1$ 評価を用いて、パッチ境界が常に $C^{1+\gamma}$ および $C^{2+\gamma}$ であることを示す。

提案手法

• パッチ境界 $D(t) = \{x : \varphi(x,t) > 0\}$ を記述するためにレベルセット関数 $\varphi$ を用い、$\partial_t \varphi + u \cdot \nabla \varphi = 0$ に従って時間発展させる。
• 接ベクトル場 $W = \nabla^\perp \varphi$ を定義し、$\partial_t W + u \cdot \nabla W = W \cdot \nabla u$ を満たすことで、パッチ境界の時間発展を追跡する。
• $\|\nabla W\|_{C^\gamma}$ の評価を通じて $C^{2+\gamma}$ 正則性を制御し、$\|W \cdot \nabla^2 u\|_{C^\gamma}$ を含むグロンウォール型不等式を用いる。
• フーリエ解析とカーネル分割を用いて、$W \cdot \nabla^2 u$ を二つの項 $I_1$ と $I_2$ に分解し、$W$ の接ベクトル性を活用する。
• ベルトツィとコンスタンティン[3]の補題を適用し、$L^\infty$ 範囲とSIO（特異積分作用素）の範囲を用いて $\|I_1\|_{C^\gamma}$ および $\|I_2\|_{C^\gamma}$ を評価する。
• $H^{1+\gamma+s}$ 初期速度と $u \in L^1(0,T; C^{1+\gamma})$ を用いて、$W \cdot \nabla^2 u$ に対する $L^1(0,T; C^\gamma)$ 範囲の評価を確立し、正則性のグローバル保存を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様ナビエ＝ストークス方程式における2次元密度パッチの $C^{1+\gamma}$ 正則性は、小刻みの仮定なしに時間全域で保存されるか？
• RQ2 パッチ境界の $C^{2+\gamma}$ 正則性は、時間全域で保存可能であり、その場合の初期データに必要な条件は何か？
• RQ3 密度と速度の間の準線形結合は正則性伝播にどのように影響するか？また、小刻みの仮定なしにこれを克服できるか？
• RQ4 パッチ境界の曲率は時間とともに保存されるか？接ベクトル場 $W$ はその制御においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 リプシッツパッチが $\mathcal{M}(\dot{B}_{\infty,\infty}^{-1+\gamma})$ において乗数であるという性質を用いて、速度正則性を制御し、結果としてパッチ正則性を制御できるか？

主な発見

• 任意の $\gamma \in (0,1)$、初期速度 $u_0 \in H^{\gamma+s}$（$s \in (0,1-\gamma)$）および任意の正の密度 $\rho_1, \rho_2 > 0$ に対して、小刻みの仮定なしに2次元密度パッチのグローバルな $C^{1+\gamma}$ 正則性が確立される。
• パッチ境界の曲率は時間全域で $C^\gamma$ に留まるため、$C^{2+\gamma}$ 正則性がグローバルに保存されることを示す。
• $u \in L^1(0,T; C^{1+\gamma})$ が証明され、これにより粒子軌道を用いたパッチ正則性の伝播が可能になる。
• $W \cdot \nabla^2 u$ が $L^1(0,T; C^\gamma)$ に属することを示し、これが $\nabla W$ の時間発展および曲率の制御に不可欠である。
• $W \cdot \nabla^2 u = I_1 + I_2$ の分解とSIO補題の適用により、$\|I_1\|_{C^\gamma} + \|I_2\|_{C^\gamma} \leq c(\|u_0\|_{H^{1+\gamma+s}}, T)$ が得られ、時間にわたる有界性が保証される。
• 証明は $W$ がパッチに接するため、核項で $\mathcal{F}(\rho W_k)$ が消えることに依存しており、これによりフーリエ分解が単純化される。