[論文レビュー] Global sections of line bundles on a wonderful compactification of the general linear group

Ivan Kausz|ArXiv.org|May 1, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、GLₙの完備化であるWonderful compactification KGL(E,F)上のG-線束の正則切断の標準的分解を確立し、任意の軌道閉包上の正則切断空間が、不可約GLₙ×GLₙ-加群の直和に分解されることを示している。主な結果として、線束と軌道閉包のデータから得られる整数組によってパラメトライズされる、旗多様体上の正則切断の直和への明示的同型写像が与えられる。

ABSTRACT

In a previous paper we have constructed a compactification $KGl_n$ of the general linear group $Gl_n$, which in many respects is analogous to the so called wonderful compactification of adjoint semisimple algebraic groups as studied by De Concini and Procesi. In particular there is an action of $G=Gl_n imes Gl_n$ on this compactification. In this paper we show how the space of global section of an arbitrary $G$-linearized line bundle on $KGl_n$ decomposes canonically into a direct sum of simple $G$-modules which are themselves given as the spaces of global sections of line bundles on the product of two copies of the full flag manifold parametrizing flags in an $n$-dimensional vector space.

研究の動機と目的

• G-線束の正則切断の分解を、GLₙのWonderful compactification KGL(E,F)上で不可約G-加群に記述すること。
• 境界除集合の交わりとして得られる軌道閉包上の正則切断の構造を理解すること。
• 軌道閉包上の正則切断と旗多様体上の正則切断の直和との間の明示的かつ標準的な同型写像を提供すること。
• 標準的技法が直接適用できない状況における正則切断の構成を可能にするために、この設定における正則性の欠如（アンピュラス性の欠如）を克服すること。
• ノード付き曲線のベクトル束のモジュライスタックの退化理論への応用の基盤を築くこと。

提案手法

• G = GL(E) × GL(F) の作用を用いて、KGL(E,F) 上のG-線束を分析する。
• 繰り返しのブロー・アップを用いた再帰的構成により、KGL(E,F) を境界が除集合である滑らかな代数多様体として定義する。
• KGL(E,F) のピカール群が境界成分 Zᵢ と Yⱼ によって生成されることを特定し、線束をこれらの除集合の形式的和として表現する。
• 軌道閉包上の正則切断と旗多様体 Fl = Fl(E) × Fl(F) 上の正則切断との間の標準的同型写像を適用する。
• G-加群の分解に現れる不可約加群をパラメトライズする整数組の有限集合 Aᵢⱼ(L) ⊂ ℤⁿ × ℤⁿ を導入する。
• アンピュラス性の仮定に依存しない、明示的な正則切断の構成により、不可約部分加群を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-線束の正則切断は、GLₙのWonderful compactification KGL(E,F) 上でどのように不可約G-加群に分解されるか？
• RQ2 境界成分の交わりとして得られる各軌道閉包 O̅ᵢⱼ ⊂ KGL(E,F) 上の正則切断空間の正確な構造は何か？
• RQ3 正則切断の分解を、旗多様体とその線束を用いて、明示的かつ標準的に記述できるか？
• RQ4 なぜ標準的なアンピュラス性に基づく技法がこの設定では失敗するのか？そして、それにもかかわらず、それらに依存せずに正則切断を構成できるか？
• RQ5 境界成分 Zᵢ と Yⱼ は、正則切断空間の不可約成分をパラメトライズする役割を果たすのか？

主な発見

• 任意の軌道閉包 O̅ᵢⱼ ⊂ KGL(E,F) 上のG-線束Lの正則切断空間は、旗多様体Fl上の正則切断の直和への標準的G-加群同型写像をもつ。
• 分解は H⁰(O̅ᵢⱼ, i*ᵢⱼL) ≅ ⨁_{(a,b)∈Aᵢⱼ(L)} H⁰(Fl, O_Fl(a,b)) で与えられ、Aᵢⱼ(L) は I, J, L に依存する整数組の有限集合である。
• 分解に現れる不可約G-加群は、旗多様体 Fl = Fl(E) × Fl(F) 上の線束 O_Fl(a,b) の正則切断として実現される。
• 正則切断の構成は、アンピュラス性に依存しない明示的切断理論により行われ、この設定ではアンピュラス性が成立しない。
• 双対化線束 ω_KGL は ⨂ᵢ(Mᵢ⊗Lᵢ)^{i(i−n)−1} として計算され、主要な線束がアンピュラスでないことが示される。
• アンピュラス性の欠如は、L および ω_KGL⁻¹(−∑(Zᵢ+Yᵢ))⊗L が、特定のトーリック部分多様体への制限でも非自明な正則切断を持つにもかかわらず、いずれもアンピュラスでないことを示すことによって証明される。