[論文レビュー] Global sensitivity analysis in the context of imprecise probabilities (p-boxes) using sparse polynomial chaos expansions

Roland Schöbi, Bruno Sudret|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、パラメトリックpボックスとスパース多項 chaos 展開（PCE）を用いて、不確実性確率が曖昧な状況下での計算的に効率的なグローバル感度分析手法を提案する。虚数点を導入した拡張PCEモデルにより、推定誤差の少ない区間値（曖昧な）Sobol’インデックスの低コスト計算が可能となり、アンサンブル的不確実性とエピステム的不確実性の両方を定量化する。解析的および工学的例題において、わずか100回の有限要素計算で高い精度を達成し、妥当性が検証された。

ABSTRACT

Global sensitivity analysis aims at determining which uncertain input parameters of a computational model primarily drives the variance of the output quantities of interest. Sobol' indices are now routinely applied in this context when the input parameters are modelled by classical probability theory using random variables. In many practical applications however, input parameters are affected by both aleatory and epistemic (so-called polymorphic) uncertainty, for which imprecise probability representations have become popular in the last decade. In this paper, we consider that the uncertain input parameters are modelled by parametric probability boxes (p-boxes). We propose interval-valued (so-called imprecise) Sobol' indices as an extension of their classical definition. An original algorithm based on the concepts of augmented space, isoprobabilistic transforms and sparse polynomial chaos expansions is devised to allow for the computation of these imprecise Sobol' indices at extremely low cost. In particular, phantoms points are introduced to build an experimental design in the augmented space (necessary for the calibration of the sparse PCE) which leads to a smart reuse of runs of the original computational model. The approach is illustrated on three analytical and engineering examples which allows one to validate the proposed algorithms against brute-force double-loop Monte Carlo simulation.

研究の動機と目的

• 古典的Sobol’インデックスを、不確実性確率を曖昧に表現するpボックスに拡張し、混合されたアンサンブル的およびエピステム的不確実性を扱えるようにすること。
• 特にモデル評価が高コストである状況下で、エピステム的不確実性を伴う感度分析の高い計算コストを軽減すること。
• 繰り返しモデル評価を必要としない、代理モデルに基づく区間値Sobol’インデックスの効率的計算手法を開発すること。
• 入力不確実性がパラメトリックpボックスで特徴づけられる工学的文脈において、グローバル感度分析の実用的応用を可能にすること。

提案手法

• 入力不確実性のpボックス表現に拡張された古典的Sobol’インデックスを用いて、曖昧なSobol’インデックスを区間値測度として形式化する。
• 元の入力変数とpボックスを定義するエピステム的パラメータを組み合わせた拡張入力空間を構築し、次元数をMからM_augに増加させる。
• 等確率変換と虚数点戦略を活用し、最小限の実験計画を用いて、拡張空間上でのスパース多項 chaos 展開（PCE）を構築する。
• 拡張PCEの係数を用いて最適化により第一階層Sobol’インデックスの境界を解析的に計算し、追加のモデル評価を回避する。
• 「虚数点」を導入する——元のモデル計算結果を再利用する人工的サンプルであり、元のシミュレーション数を増やさずにPCEの精度を向上させる。
• Sobol’インデックスの境界を計算するための遺伝的アルゴリズムを用い、ブルートフォースなモンテカルロシミュレーションと比較して手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Sobol’インデックスは、パラメトリックpボックスで表現される曖昧な確率にどのように一般化できるか？
• RQ2 二重ループモンテカルロシミュレーションを必要とせずに、区間値Sobol’インデックスを効率的に計算する最良の方法は何か？
• RQ3 スパース多項 chaos 展開は、pボックスパラメータの拡張空間に効果的に適応可能か？ これにより低コストな感度分析が可能になるか？
• RQ4 虚数点は、曖昧な感度分析の文脈において、代理モデルの精度と効率をどのように向上させるか？
• RQ5 小さな実験計画（例：N=100）が、実世界の工学的問題における曖昧なSobol’インデックスの推定に、どの程度信頼性を持って有効か？

主な発見

• 提案手法は、わずか100回の有限要素モデル評価で曖昧なSobol’インデックスを計算可能であり、相対的一般化誤差が最小で5.7×10⁻⁷にまで低下した。
• nph = 5の虚数点を用いることで、第一階層Sobol’インデックスの推定境界が真値に収束し、急速な収束性と高い精度を示した。
• nph = 3でも高い精度が達成され、相対的一般化誤差が8.4×10⁻⁴にまで低下し、信頼性の高い感度分析に十分な水準であった。
• ラーメン構造の例における曖昧なSobol’インデックスの対称性が確認され、エピステム的不確実性の正しく処理された一貫性が裏付けられた。
• 虚数点の導入により、元の計算モデルの評価回数を増やさずに、拡張PCEモデルの精度が顕著に向上した。
• 本手法により、従来のモンテカルロ法では計算が非現実的であるとされる実世界の工学的問題（例：ラーメン構造、SDOF振動系）に対しても、効率的なグローバル感度分析が可能になった。