[論文レビュー] Global smooth solutions to the nonisothermal compressible fluid models of Korteweg type with large initial data

Zhengzheng Chen, Lin He+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般の密度および温度依存性の粘性係数、界面張力係数、熱伝導率係数を有する1次元非等温圧縮性Korteweg流体系に対して、大規模な初期データのもとで滑らかで真空中でない解の全域的存在および時間漸近的挙動を確立する。エネルギー法、Kanelの技法、最大原理を用いて、定常状態に近い初期データに対して長時間存在および平衡状態への収束を証明し、従来の等温または小規模データに限局した結果を拡張する。

ABSTRACT

The global solutions with large initial data for the isothermal compressible fluid models of Korteweg type has been studied by many authors in recent years. However, little is known of global large solutions to the nonisothermal compressible fluid models of Korteweg type up to now. This paper is devoted to this problem, and we are concerned with the global existence of smooth and non-vacuum solutions with large initial data to the Cauchy problem of the one-dimensional nonisothermal compressible fluid models of Korteweg type. The case when the viscosity coefficient $μ(ρ)=ρ^α$, the capillarity coefficient $κ(ρ)=ρ^β$, and the heat-conductivity coefficient $ ildeα(θ)=θ^λ$ for some parameters $α,β,λ\in \mathbb{R}$ is considered. Under some assumptions on $α,β$ and $λ$, we prove the global existence and time-asymptotic behavior of large solutions around constant states. The proofs are given by the elementary energy method combined with the technique developed by Y. Kanel' \cite{Y. Kanel} and the maximum principle.

研究の動機と目的

• 非等温圧縮性Korteweg流体に対する大規模解の全域的結果が不足していたことを補い、主に等温または小規模データの設定に限局していた既存の研究を拡張する。
• 1次元において、大規模な初期データを有する初期値問題に対して滑らかで真空中でない解の存在を確立する。
• 一般の物理的係数を想定した下で、定常平衡状態まわりの解の時間漸近的挙動を分析する。
• Korteweg型モデルの適用範囲を、非等温かつ大規模データの状態にまで拡張し、現実的で非線形な係数依存性を考慮する。

提案手法

• 密度依存性粘性係数 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$、界面張力係数 $\kappa(\rho) = \rho^\beta$、温度依存性熱伝導率 $\tilde{\alpha}(\theta) = \theta^\lambda$ を有するNavier-Stokes-Korteweg系を採用する。
• 非線形項の制御と事前推定の確立のため、基本的エネルギー法に加えY. Kanelの技法を適用する。
• 温度の有界性と真空中の発生回避を保証するため、最大原理を用いて温度を制御し、真空中でない解を保証する。
• 平衡状態からの密度、速度、温度の摂動の $L^2$ および $H^1$ ノルムに対する事前推定を確立する。
• ソボレフ空間におけるエネルギー推定を実施し、高階導関数の制御と正則性の保証を図る。
• 局所解を時間的に全域に拡張するための継続的議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非等温圧縮性Korteweg系に対して、大規模な初期データのもとで全域的滑らかで真空中でない解が存在しうるか？
• RQ2 粘性係数、界面張力係数、熱伝導率係数の一般的で非線形な依存性が、解の長時間挙動にどのように影響するか？
• RQ3 指数 $\alpha$、$\beta$、$\lambda$ にどのような条件を課すことで、全域的解の存在と平衡状態への収束が保証されるか？
• RQ4 最大原理およびKanelの技法を非等温状態に適応し、温度の制御と真空中の発生回避を可能にするか？
• RQ5 初期データが大規模であるが定常状態に近い場合、解の時間漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 物理的係数が $\mu(\rho) = \rho^\alpha$、$\kappa(\rho) = \rho^\beta$、$\tilde{\alpha}(\theta) = \theta^\lambda$ である1次元非等温Korteweg系に対して、適切な $\alpha$、$\beta$、$\lambda$ の仮定の下で、大規模初期データのもとで全域的滑らかな解が存在する。
• 解は全時間にわたり真空中でなく、$\gamma-1$ および初期摂動の小規模性条件のもとで、温度が0および無限大から一様に離れている。
• $L^2$ および $H^1$ ノルムの平衡状態からの摂動は時間に一様に有界であり、エネルギー推定により崩壊推定が確立される。
• 高階導関数（$H^3$ まで）が $L^2$ および時間にわたる $L^2$ ノルムで制御され、全域的正則性が保証される。
• 解は $t \to \infty$ のとき定常平衡状態に収束し、エネルギーの崩壊構造から崩壊速度が示唆される。
• 事前仮定を閉じるため、$\gamma-1$ および初期データの小規模性条件を導入し、最大原理による温度の有界性制御が可能になる。