[論文レビュー] Global solutions of compressible Navier-Stokes equations with a density-dependent viscosity coefficient

Ting Zhang|ArXiv.org|Apr 10, 2009

Navier-Stokes equation solutions参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、初期エネルギーノルムの小さな条件下で、密度に依存する粘性係数 $\lambda(\rho)$ を持つ2次元および3次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の古典解の全域的存在、一意性、および大時間挙動を確立する。主な貢献は、初期摂動の大きさにかかわらず任意の大きさの初期振動を許容する厳密な存在理論であり、Danchin よりも Matsumura-Nishida よりも一般化された結果である。

ABSTRACT

We prove the global existence and uniqueness of the classical (weak) solution for the 2D or 3D compressible Navier-Stokes equations with a density-dependent viscosity coefficient ($λ=λ(ρ)$). Initial data and solutions are only small in the energy-norm. We also give a description of the large time behavior of the solution. Then, we study the propagation of singularities in solutions. We obtain that if there is a vacuum domain at initially, then the vacuum domain will exists for all time, and vanishes as time goes to infinity.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元の $\mathbb{R}^2$ および $\mathbb{R}^3$ における $\lambda(\rho)$ を持つ圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の古典解の全域的存在および一意性を確立すること。
• 解の大時間挙動の分析、特に減衰推定および真空領域の伝播を含むこと。
• Danchin よりも Matsumura-Nishida よりも一般化された結果を得るため、初期 $H^3$-ノルムの小さな条件を、$\rho_0 - \tilde{\rho}$ および $u_0$ のみの小さな $L^2$-ノルムに緩和すること。
• 特異点の伝播、特に真空領域の持続性および減衰を研究すること。

提案手法

• 解の正則性を保証するため、ヒルベルト空間枠組み $H^3(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow C^1(\mathbb{R}^N)$ における古典的解析を用いる。
• 圧力項を制御するため、ポテンシャルエネルギー密度 $G(\rho) = \rho \int_{\tilde{\rho}}^{\rho} \frac{P(s) - P(\tilde{\rho})}{s^2} ds$ を導入する。
• 速度ラプラシアンの分解のため、渇き行列 $w^{j,k} = \partial_k u^j - \partial_j u^k$ および関数 $F = (\lambda + 2\mu)\mathrm{div}u - P(\rho) + P(\tilde{\rho})$ を用いる。
• フーリエ空間におけるダイアディック分解およびベゾフ空間技法を用い、特に $\|\nabla u\|_{L^\infty} \lesssim \|u\|_{L^2} + \|\nabla u\|_{\dot{B}^{0}_{\infty,\infty}} \log(1 + \|\Delta u\|_{L^p}/\|\nabla u\|_{\dot{B}^{0}_{\infty,\infty}})$ というノルムを用いる。
• 可縮性近似における極限に至るため、グローワルの不等式および弱コンパクトネスの議論を用い、3次元における弱解の存在を証明する。
• 近似の強収束および極限の一意性を示すために、$\Psi = \int |\rho^\delta - \rho|^2 dx$ を用いた相対エントロピー型推定を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データがエネルギーノルムに関してのみ小さい場合、初期振動の大きさに関わらず、$\lambda(\rho)$ を持つ圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して全域的古典解が存在するか？
• RQ2 解の大時間挙動、特に減衰率および真空の持続性に関しては？
• RQ3 初期データに大規模な振動があるが、$\rho_0 - \tilde{\rho}$ および $u_0$ の $L^2$-ノルムが小さい場合、解はどのように振る舞うか？
• RQ4 初期に真空領域が存在する場合、それがすべての時間にわたって持続するか、$t \to \infty$ で消えるか？
• RQ5 同様の小さな仮定のもとで、3次元における弱解への存在理論を拡張できるか？

主な発見

• 2次元および3次元の圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に、$\|\rho_0 - \tilde{\rho}\|_{L^2} + \|u_0\|_{L^2}$ が十分に小さい限り、全域的古典解が存在する。
• すべての $t \geq 0$ に対して $\frac{1}{2}\underline{\rho}_1 \leq \rho(x,t) \leq \bar{\rho}$ が成り立ち、密度の有界性および一様正の性質が保証される。
• 初期に真空領域が存在する場合、それがすべての時間にわたって持続し、$t \to \infty$ で消えることが確認され、長期的な正則性および減衰が裏付けられる。
• 解は時間とともに明示的な推定式に従って減衰する：$\|u\|_{H^4}^2$ は $[0,\infty)$ 上で可積分であり、$\|\rho - \tilde{\rho}\|_{H^3} + \|u\|_{H^3}$ は有界のままである。
• 同じ小さな仮定のもとで、3次元における弱解が全域的に存在し、古典解の結果を超えて一般化される。
• 相対エントロピーおよびグローワルの不等式を用い、$\rho^\delta \to \rho$ がすべての $k \in [2,\infty)$ に対して $L^k(\mathbb{R}^N \times [0,\infty))$ で強収束することを示し、極限関数 $(\rho, u)$ が弱解であることが証明される。