[論文レビュー] Global Solutions of Nonconvex Standard Quadratic Programs via Mixed Integer Linear Programming Reformulations

Jacek Gondzio, E. Alper Yıldırım|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

Advanced Optimization Algorithms ResearchMathematics参考文献 29被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、非凸標準二次計画問題（StQPs）のグローバル解法のための2つの混合整数線形プログラミング（MILP）再定式化を提案する。1つ目の手法はKKT条件とバイナリ変数を用いたbig-M制約を用いる。2つ目の手法は、二次目的関数のタイトな上界関数を活用する。計算結果から、両手法とも他のグローバルソルバーより顕著に優れており、特に大規模なインスタンスにおいては、桁違いの高速化と高い最適性回復率を達成している。

ABSTRACT

A standard quadratic program is an optimization problem that consists of minimizing a (nonconvex) quadratic form over the unit simplex. We focus on reformulating a standard quadratic program as a mixed integer linear programming problem. We propose two alternative mixed integer linear programming formulations. Our first formulation is based on casting a standard quadratic program as a linear program with complementarity constraints. We then employ binary variables to linearize the complementarity constraints. For the second formulation, we first derive an overestimating function of the objective function and establish its tightness at any global minimizer. We then linearize the overestimating function using binary variables and obtain our second formulation. For both formulations, we propose a set of valid inequalities. Our extensive computational results illustrate that the proposed mixed integer linear programming reformulations significantly outperform other global solution approaches. On larger instances, we usually observe improvements of orders of magnitude.

研究の動機と目的

• 非凸標準二次計画問題（StQPs）の効率的なグローバル解法を開発すること。StQPsはNP困難であり、多様な応用分野に現れる。
• StQPsを混合整数線形計画問題（MILPs）に再定式化し、CPLEX や Gurobi などの高性能な現代MILPソルバを活用すること。
• StQPsの構造を活かしたMILP定式化を設計し、解法の高速化と最適性回復の向上を図ること。
• ベンチマークインスタンス上で、提案手法の性能を最先端のグローバル最適化ソルバと比較すること。

提案手法

• 1番目の定式化：StQPを補完性制約を含む線形計画問題（LPCC）に再定式化し、バイナリ変数とbig-M制約を用いて補完性制約を線形化する。
• 2番目の定式化：解のサポートに基づく区分的線形上界関数を二次目的関数に代入し、KKT点で正確に一致するようにする。
• StQPの単位単体と対称行列構造を活用し、big-Mパラメータの有効な境界を下界を用いて導出する。
• 計算コストが低いが緩い境界 ℓ₁(Q) と、よりタイトだが計算コストの高い境界 ℓ₂(Q) の2つの下界を導入し、MILPモデルにおける境界の改善を図る。
• 緩和問題の強化と収束の向上を目的に、有効な不等式を定式化に組み込む。
• MILPソルバ内での分枝限定法フレームワークを採用し、問題固有のタイトニング戦略を用いて性能を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準二次計画問題は、高性能なMILPソルバを活用できるように、混合整数線形計画問題に効果的に再定式化可能か？
• RQ2 提案されたMILP定式化は、CPLEX-QP や BARON などの汎用グローバルソルバと比較して、性能にどの程度差が現れるか？
• RQ3 計算コストの高い境界 ℓ₂(Q) を使用する場合と、コストが低い境界 ℓ₁(Q) を使用する場合とで、解法速度と最適性回復にどのような影響があるか？
• RQ4 有効な不等式は、MILP定式化の性能向上にどの程度効果的か？
• RQ5 提案されたMILPアプローチは、大規模なStQPインスタンスに対しても効果的にスケーリング可能か？

主な発見

• IS1インスタンスセットでは、提案手法の8種類の変種すべてが QP-IP を上回り、QP-IP が CPLEX-QP や BARON を上回っている。
• MILP2-L2 が最良の解法時間を記録し、次いで MILP1-L2-VI と MILP2-L2-VI が続いた。後者2つは時間制限内により多くのインスタンスを最適に解いた。
• より大きな IS2 セットでは、MILP2-L1 が他のすべての定式化を上回り、次いで MILP2-L1-VI が続いた。QP-IP は次の最良のパフォーマンスを示した。
• 有効な不等式の追加により、MILP1 および MILP2 の両定式化において、最適解が得られたインスタンス数が向上したが、インスタンスの種別によって性能の差が見られた。
• 緩和された MILP2 定式化が、特にタイトな ℓ₂(Q) 界を組み合わせた場合、最も頻繁に最良の解法時間を記録した。ただし、ℓ₂(Q) の計算は大規模インスタンスでは計算コストが高かった。
• 全体として、提案されたMILP定式化は、既存のグローバル解法と比較して、特に大規模インスタンスにおいて、桁違いの性能向上を示した。