[論文レビュー] Global solutions of two coupled Maxwell systems in the temporal gauge

Yuan Jian-jun|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、時間的ゲージにおける2つの結合非線形マクスウェル系—マクスウェル＝クライン＝ゴルドン系およびマクスウェル＝チェーン＝シモンズ＝ヒッグス系—の有限エネルギー解のグローバル存在を確立する。ゲージ不変性を活用し、エネルギーと$L^2$ノルムによって空間的ゲージポテンシャルの$\.dot{H}^{1}$ノルムを制御することで、有限エネルギー空間に属する初期データに対して、解が時間全域で存在することを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Maxwell-Klein-Gordon and Maxwell-Chern-Simons-Higgs systems in the temporal gauge. By using the fact that when the spatial gauge potentials are in the Coulomb gauge, their $\dot{H}^1$ norms can be controlled by the energy of the corresponding system and their $L^2$ norms, and the gauge invariance of the systems, we show that finite energy solutions of these two systems exist globally in this gauge.

研究の動機と目的

• 時間的ゲージにおけるマクスウェル＝クライン＝ゴルドン系およびマクスウェル＝チェーン＝シモンズ＝ヒッグス系の有限エネルギー解のグローバル存在を確立すること。
• ゲージ不変性とエネルギー推定を活用して、従来のクーロンゲージにおける結果を時間的ゲージへ拡張すること。
• エネルギーと$L^2$ノルムを用いて、空間的ゲージポテンシャルの$\dot{H}^1$ノルムを制御し、グローバル正則性を保証すること。
• 有限エネルギー解の文脈において、トポロジカルおよびノントポロジカル境界条件の両方を扱うこと。

提案手法

• ゲージ不変性を用いて、クーロンゲージからの解を時間的ゲージへ変換する。
• 場のエネルギー保存則と$A_i$、$\phi$、$\widetilde{N}$の$L^2$バウンドを適用し、それらの成長を制御する。
• ベクトルポテンシャルに対して$B = \partial_1 A_2 - \partial_2 A_1$を満たすとき、不等式$\|\nabla A\|_{L^2} \leq \|B\|_{L^2}$を用いて$\dot{H}^1$ノルムをバウンドする。
• ソボレフ埋め込みと補間を用いて、$\|\nabla \phi\|_{L^2}$を$\|D_i \phi\|_{L^2}$、$\|\phi\|_{L^2}$、および$\|\nabla A^\mathrm{df}\|_{L^2}$の項で表現する。
• 空間時間$X^{s,b}$ノルムを用いて、$s \geq 1$の$H^s \times H^{s-1}$における局所的良設定性を証明する。
• エネルギー推定と$L^2$制御を組み合わせ、局所解を有限エネルギー空間におけるグローバル解へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的ゲージにおいて、マクスウェル＝クライン＝ゴルドン系およびマクスウェル＝チェーン＝シモンズ＝ヒッグス系の有限エネルギー解は、時間全域にわたり拡張可能か？
• RQ2 時間的ゲージにおいて、エネルギーと$L^2$ノルムのみを用いて、空間的ゲージポテンシャルの$\dot{H}^1$ノルムをどのように制御できるか？
• RQ3 ゲージ不変性は、クーロンゲージから時間的ゲージへのグローバル存在結果の移行に、どのような役割を果たすか？
• RQ4 ノントポロジカルおよびトポロジカル境界条件は、有限エネルギー空間における解のグローバル存在にどのように影響するか？
• RQ5 これらの結合マクスウェル系に対してグローバル存在を保証するための最小正則性は何か？

主な発見

• マクスウェル＝クライン＝ゴルドン系は、時間的ゲージにおいて有限エネルギー解がグローバルに存在し、従来のクーロンゲージにおける結果を拡張する。
• マクスウェル＝チェーン＝シモンズ＝ヒッグス系は、ノントポロジカルおよびトポロジカル境界条件の両方において、時間的ゲージでグローバル解が確立される。
• 空間的ゲージポテンシャルの$\dot{H}^1$ノルムは、エネルギーと$\phi$、$A_i$、$\widetilde{N}$の$L^2$ノルムによって制御可能であり、これにより事前推定を用いたグローバル存在が可能になる。
• $s \geq 1$の$H^s \times H^{s-1}$における局所的良設定性は、$X^{s,b}$空間技法を用いて証明され、解は$T$が初期データに依存する$C([-T,T]; H^s)$に属する。
• $A_i$、$\phi$、$\widetilde{N}$の$L^2$ノルムは、$E(0)$と$T$の関数として時間に一様に有界であり、爆発が生じないことを保証する。
• 証明はエネルギー保存則と補間不等式に依拠し、$\|\nabla \phi\|_{L^2}$を$\|D_i \phi\|_{L^2}$、$\|\phi\|_{L^2}$、$\|\nabla A^\mathrm{df}\|_{L^2}$の項でバウンドすることで、ブートストラップの議論を閉じる。