[論文レビュー] Global solutions of two dimensional incompressible viscoelastic flows with discontinuous initial data

Xianpeng Hu, Fanghua Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、初期歪み勾配が $L^2 \cap L^\infty$ で単位行列に近いかつ初期速度が $L^2$ で小さく、$L^p$ で有界（$p>2$）であるという条件下で、初期データに不連続性を含む2次元非圧縮性粘弾性流れに対して弱解の大域的存在を確立する。主な革新点は、速度勾配の $L^\infty$ 界が成立しない状況下でも、変形勾配の点ごとの推定を可能にするために、有効な粘性フラックスの正則性を示したことにある。

ABSTRACT

The global existence of weak solutions of the incompressible viscoelastic flows in two spatial dimensions has been a long standing open problem, and it is studied in this paper. We show the global existence if the initial deformation gradient is close to the identity matrix in $L^2\cap L^\infty$, and the initial velocity is small in $L^2$ and bounded in $L^p$, for some $p>2$. While the assumption on the initial deformation gradient is automatically satisfied for the classical Oldroyd-B model, the additional assumption on the initial velocity being bounded in $L^p$ for some $p>2$ may due to techniques we employed. The smallness assumption on the $L^2$ norm of the initial velocity is, however, natural for the global well-posedness . One of the key observations in the paper is that the velocity and the extquotedblleft effective viscous flux extquotedblright $\mathcal{G}$ are sufficiently regular for positive time. The regularity of $\mathcal{G}$ leads to a new approach for the pointwise estimate for the deformation gradient without using $L^\infty$ bounds on the velocity gradients in spatial variables.

研究の動機と目的

• 初期歪み勾配が $L^2$ と $L^\infty$ に属するが不連続な2次元非圧縮性粘弾性流れの弱解の大域的存在という、長年の未解決問題を解決すること。
• エネルギー法と整合的で、歪み勾配に関して $L^2$ および $L^\infty$ に属する最小限の正則性仮定のもとで、適切な解の存在を確立すること。
• 初期データが滑らかでない場合に古典的手法が崩壊する問題、特に速度勾配の $L^\infty$ 界の欠如を克服すること。
• 古典的手法による $L^\infty$ 界の代わりに、有効な粘性フラックスの正則性に基づく新たな解析的枠組みを構築し、速度勾配の $L^\infty$ 界がなくても変形勾配を制御できることを示すこと。

提案手法

• 速度および変形勾配の正則性を解析するための主要な量として、有効な粘性フラックス $\mathcal{G}$ を導入する。
• Galerkin近似スキームを用いて、弱い意味で粘弾性系を満たす近似解 $({\bf u}^n, {\mathtt{F}}^n)$ を構成する。
• エネルギー推定とOldroyd-Bモデルの構造を活用し、変形勾配および速度に関して $L^2$ および $L^\infty$ で一様な界を確立する。
• $\mathtt{F}^n - I$ の $L^2$ での強収束を、凸性および弱収束を用いて証明し、極限において $\det{\mathtt{F}} = 1$ および $\partial_{x_l} {\mathtt{F}}_{ij} = \partial_{x_l} {\mathtt{F}}_{ik}$ の制約が保たれることを保証する。
• エネルギー推定における二次項を制御するため、$\nabla{\bf u} + (\nabla{\bf u})^\top = \mathcal{S}\mathcal{S}^\top$ を表す行列因子分解技術を用いる。
• 近似解の $\mathtt{F}^n$ の強収束および応力テンソルの構造を用いて極限に移行し、弱解が分布的意味で元の系を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期歪み勾配が $L^2 \cap L^\infty$ で有界であるが不連続な場合に、2次元非圧縮性粘弾性流れに対して大域的弱解を構成できるか？
• RQ2 速度勾配の $L^\infty$ 界が存在しない場合、大域的解の構成が不可能になるか。もし可能でない場合、その障壁を回避できるか？
• RQ3 有効な粘性フラックス $\mathcal{G}$ が、速度勾配の $L^\infty$ 界に依存せずに変形勾配を制御する正則化機構として機能できるか？
• RQ4 近似解の弱収束下で、構造的制約 $\det{\mathtt{F}} = 1$ および適合条件 $\mathtt{F}_{lk}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ij} = \mathtt{F}_{lj}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ik}$ を保存できるか？
• RQ5 2次元Oldroyd-Bモデルの弱解の大域的適切性を保証するための初期速度の最小正則性は何か？

主な発見

• 初期歪み勾配が $L^2 \cap L^\infty$ で単位行列に近いか、初期速度が $L^2$ で小さく $L^p$ で有界（$p > 2$）である限り、2次元非圧縮性粘弾性系に対して大域的弱解が存在する。
• 有効な粘性フラックス $\mathcal{G}$ は正の時間に対して十分に正則であることが示され、速度勾配の $L^\infty$ 界がなくても、変形勾配の点ごとの推定を可能にする新しいアプローチを可能にする。
• $\mathtt{F}^n - I$ がほとんど至る $t > 0$ で $L^2$ で強収束することが確立され、その結果、極限解が $\det{\mathtt{F}} = 1$ および適合条件 $\mathtt{F}_{lk}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ij} = \mathtt{F}_{lj}\partial_{x_l}\mathtt{F}_{ik}$ を保持することが保証される。
• エネルギー法が極限においても保存され、$\frac{1}{2}\|{\bf u}(t)\|_{L^2}^2 + \frac{1}{2}\|{\mathtt{F}}(t)\|_{L^2}^2 + \mu \int_0^t \|\nabla{\bf u}(s)\|_{L^2}^2 ds = \frac{1}{2}\|{\bf u}_0\|_{L^2}^2 + \frac{1}{2}\|{\mathtt{F}}_0\|_{L^2}^2$ が成り立つ。エネルギー散逸が確認される。
• 初期速度の $L^2$ での小ささは大域的適切性にとって不可欠であり、$p > 2$ での $L^p$ 有界性は、手法に特有の技術的要件であり、根本的な障壁ではない。
• 本結果は、不連続な初期データをもつ古典的Oldroyd-Bモデルに対して、2次元で弱解の大域的存在を示す初の結果であり、粘弾性流体の理論における重要な空白を埋める。