[論文レビュー] Global solutions to 2-d inhomogeneous navier-stokes system with general velocity

Jingchi Huang, Marius Paicu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、初期密度の摂動が初期速度に対して二重指数的になまらぬ条件のもとで、臨界Besov空間枠組みにおいて可変粘性係数を有する2次元非一様Navier-Stokes方程式のグローバル適切解の存在を確立する。初期密度が区分的定数で小さなジャンプを持つ場合、従来の結果で要請されていた初期速度の小正則性条件を除去し、グローバル存在を示す。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the global wellposedness of 2-D density-dependent incompressible Navier-Stokes equations with variable viscosity, in a critical functional frame- work which is invariant by the scaling of the equations and under a non-linear smallness condition on fluctuation of the initial density which has to be doubly exponential small compared with the size of the initial velocity. In the second part of the paper, we apply our methods combined with the techniques of R. Danchin and P. B. Mucha to prove the global existence of solutions to inhomogeneous Navier-Stokes system with piecewise constant initial density which has small jump at the interface and is away from vacuum. In particular, this latter result removes the smallness condition for the initial velocity in a corresponding theorem of R. Danchin and P. B. Mucha.

研究の動機と目的

• 方程式のスケーリング不変性を保つ臨界関数空間枠組みにおいて、可変粘性係数を有する2次元非一様Navier-Stokes方程式のグローバル適切解を扱う。
• 従来の結果が初期速度の小正則性を要件としていたという制限を克服し、小さな界面ジャンプを有する区分的定数初期密度に対して、この小正則性条件を除去する。
• 初期密度摂動に対して非線形的小正則性条件を満たすグローバル存在結果を提供する。この条件は、初期速度の大きさに対して二重指数的になまらぬものでなければならない。
• 不混和流体が異なる密度を有する物理的状況に適用可能な理論の適用範囲を拡大する。

提案手法

• 方程式のスケーリング不変性を保つBesov空間に基づく臨界関数空間枠組みを採用する。
• Littlewood-Paley理論およびパラ積分推定を用いて、Navier-Stokes系における非線形項を制御する。
• 密度摂動 $ a = \rho - 1 $ および粘性係数のずれ $ \tilde{\nu}(a) - \nu $ を導入し、系を摂動形式に変換する。
• 非一様Besov空間におけるエネルギー推定とGronwall型不等式を用いて、時間経過に伴う解の成長を制御する。
• 適切に選んだ関数空間における固定点定理を用いて局所解の存在を確立し、その後、最大存在時間 $ \tau^* $ が有限であると仮定して背理法によりグローバル延長を行う。
• [10]の手法を組み合わせ、密度および粘性係数に関する新たな推定を用いて、区分的定数初期密度の場合を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変粘性係数を有する2次元非一様Navier-Stokes系に対して、初期速度が小でない場合でもグローバル解を構成できるか？
• RQ2 臨界空間におけるグローバル適切解を保証するための初期密度摂動の最適な小正則性条件は何か？
• RQ3 区分的定数初期密度で界面ジャンプが小さい場合、初期速度の小正則性仮定を除去できるか？
• RQ4 非一様Navier-Stokes力学のもとで、初期密度界面の正則性は時間経過に伴いどのように伝播するか？
• RQ5 初期速度が大きい場合に、粘性関数 $ \tilde{\nu}(a) $ が系の安定化に果たす役割は何か？

主な発見

• 可変粘性係数を有する2次元非一様Navier-Stokes系について、初期密度摂動が初期速度の大きさに対して二重指数的になまらぬ条件のもとで、臨界Besov空間枠組みにおいてグローバル適切解が確立された。
• 初期密度が区分的定数で界面ジャンプが小さい場合でさえ、初期速度の小正則性がなくても解が時間全域にわたり存在する。従来の結果で要請されていた制限を除去した。
• 解の成長を二重指数的係数を含むGronwall型不等式で制御する、Besov空間における精緻なエネルギー推定に依拠している。
• 最大存在時間 $ \tau^* $ が無限大であることが背理法により示された。有限な $ \tau^* $ を仮定すると、解ノルムの小正則性条件が破られる。
• $ \tilde{\nu}(a) - \nu $ および $ a $ の変数における摂動アプローチにより、密度場と速度場の非線形性および結合性を効果的に扱った。
• この結果は、Lionsの非公表問題である密度パッチ解における境界正則性の伝播に関する部分的解答を提供する。