[論文レビュー] Global solutions to stochastic wave equations with superlinear coefficients

Annie Millet, Marta Sanz–Solé|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、d = 1, 2, 3次元における非線形項が |z|(ln⁺|z|)^a 形式の超線形の駆動項と拡散係数を有する確率波動方程式に対して、確率場解の全域的存在および一意性を確立する。この手法は、全空間リプシッツ係数を有する解の時間的・空間的増分に関する鋭いモーメント推定に基づき、ピカード反復と停止時刻の議論を用いて、ノイズよりも駆動項が優勢な条件下で有限時刻 blow-up を防ぐ。

ABSTRACT

We prove existence and uniqueness of a random field solution $(u(t,x); (t,x)\in [0,T] imes \mathbb{R}^d)$ to a stochastic wave equation in dimensions $d=1,2,3$ with diffusion and drift coefficients of the form $|z| \big( \ln_+(|z|) \big)^a$ for some $a>0$. The proof relies on a sharp analysis of moment estimates of time and space increments of the corresponding stochastic wave equation with globally Lipschitz coefficients. We give examples of spatially correlated Gaussian driving noises where the results apply.

研究の動機と目的

• d = 1, 2, 3における超線形係数を有する確率波動方程式の確率場解の全域的存在および一意性を確立すること。
• 放物型SPDEにおけるL∞-法を双曲型方程式へ拡張し、波動方程式における単調性の欠如を克服すること。
• 係数の超線形成長にもかかわらず、解が有限時刻に blow up しない条件を同定すること。
• 初期データが compact な台を持つ場合、または空間領域が有界な場合の解の台の伝播を分析すること。
• 確率場解の全域的適切性を保証する係数およびノイズ構造の十分条件を提示すること。

提案手法

• 全空間リプシッツ係数を有する近似過程の極限として解を構成するためのピカード反復の使用。
• 解過程の時間的・空間的増分に対するモーメント推定の適用により、正則性および成長の制御。
• 増分のLp推定に基づき、サンプルパスのホルダー連続性を導くコルモゴロフの定理の応用。
• 係数の切断処理により全空間リプシッツ形に変換し、停止時刻(τN)を用いて爆発確率を制御。
• τN → ∞ a.s. を保証するための鍵となる条件 E[sup_K |u^N(t,x)|^p] = o(N^p) の確立。
• 有限伝播速度を活用したピカード反復における帰納的構成と光円錐構造を用いた台の伝播の分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d = 1, 2, 3における確率波動方程式に対して、駆動項および拡散係数にどのような条件下で全域的確率場解が存在するか。
• RQ2 時間的・空間的増分に対するモーメント推定は、超線形係数を有する解の成長をどのように制御できるか。
• RQ3 駆動項bがノイズ係数σを支配する場合、有限時刻 blow-up を防ぐ役割は何か。
• RQ4 ノイズ構造（空間時間白色ノイズ対空間に相関のあるノイズ）は、解の存在性および正則性にどのように影響するか。
• RQ5 初期データが台がコンパクトである場合、または空間領域が有界である場合、解の台の伝播挙動はいかなるものか。

主な発見

• 係数が |b(z)| ≤ θ₁ + θ₂|z|(ln⁺|z|)^δ および |σ(z)| ≤ σ₁ + σ₂|z|(ln⁺|z|)^a (δ, a > 0) を満たす場合、d = 1, 2, 3における確率波動方程式に対して、確率場解の全域的存在および一意性が確立される。
• bがσを支配し、初期データがホルダー連続である限り、解はほとんど確実に全域的時間で存在し、任意のT > 0に対して sup_{(t,x)∈[0,T]×R^d} |u(t,x)| < ∞ a.s. が成り立つ。
• d = 1で空間時間白色ノイズを有する場合、増分モーメントおよびピカード反復の簡略化された解析により結果が得られる。
• d = 2, 3で空間に相関のあるノイズを有する場合、発展した確率積分理論に依拠し、[7]および[12]におけるサンプルパス正則性の結果を拡張する。
• 解の台はほとんど確実に過去の光円錐内に含まれる。すなわち、初期データがコンパクトな台を持つ場合、[0,T] × K(T) に含まれ、空間領域が有界な場合、[0,T] × D(T) に含まれる。
• 主な技術的貢献は、全空間リプシッツ係数を有する場合の E[sup_K |u(t,x)|^p] に対する鋭い上界の導出であり、これは停止時刻条件 τN ↑ ∞ a.s. の検証に用いられる。