[論文レビュー] Global solvability and stability to a nutrient-taxis model with porous medium slow diffusion

Chunhua Jin, Yifu Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3次元の栄養トキシスモデルに多孔質媒体拡散（$m > \frac{11}{4} - \sqrt{3} \approx 1.018$）を組み込み、さまざまな生物学的に妥当な条件下で、弱解のグローバル存在および有界性を確立する。さらに、解の長時間安定化を証明し、化学走性-ストークス系への拡張も行い、$m \in (\frac{11}{4}-\sqrt{3}, \frac{9}{8})$ の範囲における空白を埋めることに成功している。

ABSTRACT

In this paper, we study a nutrient-taxis model with porous medium slow diffusion \begin{align*} \left\{ \begin{aligned} &u_t=Δu^m-χ abla\cdot(u abla v)+ξuv-ρu, \\ &v_t-Δv=-vu+μv(1-v), \end{aligned} ight. \end{align*} in a bounded domain $Ω\subset \mathbb R^3$ with zero-flux boundary condition. It is shown that for any $m>\frac{11}4-\sqrt 3$,the problem admits a global weak solution for any large initial datum. We divide the study into three cases,(i) $ξμ=0, ρ\ge 0$; (ii) $ξμρ>0$; (iii) $ξμ>0$, $ρ=0$. In particular, for Case (i) and Case (ii), the global solutions are uniformly bounded. Subsequently, the large time behavior of these global bounded solutions are also discussed. At last, we also extend the results to the coupled chemotaxis-Stokes system. Important progresses for chemotaxis-Stokes system with $m>\frac 76$, $m>\frac 87$ and $m>\frac 98$ have been carried out respectively by \cite{W2, TW2, W3}, but leave a gap for $1

研究の動機と目的

• 3次元空間における多孔質媒体拡散を伴う栄養トキシスモデルに対して、弱解のグローバル存在および有界性を確立すること。
• 異なる生物学的パrameterの設定下でのグローバル解の長時間挙動を分析すること：(i) $\xi\mu=0$, $\rho\geq 0$；(ii) $\xi\mu\rho>0$；(iii) $\xi\mu>0$, $\rho=0$。
• 結果を連成された化学走性-ストークス系に拡張し、特に $m \in (\frac{11}{4}-\sqrt{3}, \frac{9}{8})$ の範囲における空白を埋めること。

提案手法

• 有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ におけるゼロフラックス境界条件の下で、系 $u_t = \Delta u^m - \chi\nabla\cdot(u\nabla v) + \xi uv - \rho u$, $v_t - \Delta v = -vu + \mu v(1-v)$ を分析する。
• $\varepsilon > 0$ をパrameterとする正則化近似スキームを用いて、摂動系の古典解を構成する。
• エネルギー法、最大正則性理論、およびモーザー反復法を用いて、$\varepsilon$ に依存しない推移的推定を導出する。
• 補間および埋め込み定理を用いて、$n_\varepsilon$, $c_\varepsilon$, および $u_\varepsilon$ の $L^\infty$ 界を確立する。
• コンパクトネスの議論を適用し、$\varepsilon \to 0$ の極限を取ることで、グローバル弱解を導出する。
• $L^r$ および $H^1$ 推定を用いて非線形項を制御し、解の一様有界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多孔質媒体拡散を伴う栄養トキシスモデルにおいて、任意の大きな初期データに対し、$m > 1$ のどの範囲でグローバル弱解が存在するか。
• RQ2 $\xi$, $\mu$, および $\rho$ がどのような条件下で、グローバル解が時間に一様に有界となるか。
• RQ3 3つの異なる生物学的状況下での、有界解の長時間挙動はいかなるものか。
• RQ4 放物型-楕円型栄養トキシスモデルに対する結果を化学走性-ストークス系に拡張可能か。
• RQ5 3次元化学走性-ストークス系におけるグローバル解の存在が保証される $m$ の既知の範囲に、本分析が空白を埋めているか。

主な発見

• すべての $m > \frac{11}{4} - \sqrt{3} \approx 1.018$ に対して、任意の大きな初期データに対してもグローバル弱解が存在する。
• $\xi\mu=0$, $\rho\geq 0$ または $\xi\mu\rho>0$ の場合、解は時間に一様に有界であり、爆発は生じない。
• $\xi\mu>0$, $\rho=0$ の場合、グローバル解は存在するが、一様有界であるとは限らない。
• 有界解の長時間挙動は解析され、空間的に一様な平衡状態への収束が示された。
• 結果は化学走性-ストークス系へ拡張され、$m \in (\frac{11}{4}-\sqrt{3}, \frac{9}{8})$ の空白が埋められた。
• $\varepsilon$ の正則化パrameterに依存しない、$L^{r+1}$, $H^1$, および $W^{2,1}_p$ 空間における一様推定が確立された。