[論文レビュー] Global stability for SIR and SIRS models with differential mortality

Philippe Adda, Derdeï Bichara|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、リャプノフ関数を用いて、死亡率に差があるSIRおよびSIRS疫病モデルのグローバル安定性を確立する。定常人口仮定のもとで出生が自然死亡を補填する場合、基本再生産数 ℛ₀ ≤ 1 のとき病原体非存在均衡がグローバル漸近安定であり、ℛ₀ > 1 のときエンドミック均衡がグローバル漸近安定であることを証明する。

ABSTRACT

We consider SIR and SIRS models with differential mortality. Global stability of equilibria is established by using Lyapunov's method

研究の動機と目的

• 異なる区画間で非一様な死亡率を有するSIRおよびSIRSモデルのグローバル安定性を分析すること。
• 等しい死亡率を仮定する従来のグローバル安定性結果を、差別的死亡率を組み込むことで拡張すること。
• 病原体非存在均衡（DFE）またはエンドミック均衡（EE）がグローバル漸近安定となる条件を確立すること。
• 位相平面法やPoincaré-Bendixsonの議論に依存せずに、リャプノフ関数を用いて安定性を厳密に証明すること。
• コロベインコフらの先行研究を拡張し、異なる死亡率とより生物学的に現実的な構造を許容するようにすること。

提案手法

• 出生が死亡率を補填するため、全人口Nが一定である2次元SIRモデル（S, I）の割合表現を定式化する。
• 全人口が一定を保つための条件 Λ = μ₁S + μ₂I + μ₃R を課す。ここでΛは出生率、μᵢは区画別死亡率を表す。
• ボルタッラが提唱し、疫病モデルに応用した形のリャプノフ関数 V = ∑aᵢ(xᵢ − x̄ᵢ log xᵢ) を用いて安定性を分析する。
• 軌道に 沿った時間微分 Ẇ を導出し、それが負半定値であることを示し、ラサールの不変性原理を適用して吸引性を証明する。
• Ẇ = 0 となる集合を解析し、それがエンドミック均衡に還元されることを証明し、グローバル漸近安定性を確認する。
• 回復区画における免疫消失率νを導入することで、SIRSモデルに同様の手法を適応し、μ₃ を μ₃ + ν に置き換える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 死亡率に差があるSIRモデルにおいて、病原体非存在均衡がグローバル安定となる条件は何か？
• RQ2 死亡率が不均一なモデルにおいて、ℛ₀ > 1 のときエンドミック均衡のグローバル安定性を確立できるか？
• RQ3 対数項を含むリャプノフ関数を用いることで、変動する死亡率を有するSIR/SIRS系の解析がどのように改善されるか？
• RQ4 人口サイズの一定性が、死亡率の差異があるにもかかわらずグローバル安定性解析を可能にする役割は何か？
• RQ5 SIRSモデルに免疫消失率νを組み込むと、エンドミック均衡の安定性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 病原体非存在均衡 (S*, I*) = (1, 0) は ℛ₀ ≤ 1 のときグローバル漸近安定である。
• ℛ₀ > 1 のとき、一意なエンドミック均衡 (S̄, Ī) が存在し、定義域の内部でグローバル漸近安定である。
• リャプノフ関数 V(S, I) は正定値であり、その時間微分 Ẇ は負半定値であり、Ẇ = 0 はエンドミック均衡でのみ成立する。
• Ẇ = 0 となる最大の不変集合はエンドミック均衡そのものであるため、ラサールの不変性原理により吸引性が確認される。
• エンドミック均衡は、病原体非存在均衡の安定多様体を除く、領域Ω全体でグローバル漸近安定である。
• 免疫消失率ν > 0 を有するSIRSモデルは、μ₃ を μ₃ + ν に置き換えることでSIRモデルと同一の形式に変換でき、安定性結果が保持される。