[論文レビュー] Global stability of almost periodic solutions of monotone sweeping processes and their response to non-monotone perturbations

Mikhail Kamenskiĭ, Oleg Makarenkov+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2017

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 41被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、時変でほぼ周期的な制約および摂動を伴う単調なスイーピング過程におけるほぼ周期的解のグローバル指数的安定性を確立する。さらに、このような解が広範な非単調摂動に対しても存続することを示し、滑らかでない、非周期的なシステムへの安定性理論の拡張を実現する。応用分野には弾塑性および電気回路が含まれる。

ABSTRACT

We develop a theory which allows making qualitative conclusions about the dynamics of both monotone and non-monotone Moreau sweeping processes. Specifically, we first prove that any sweeping processes with almost periodic monotone right-hand-sides admits a globally exponentially stable almost periodic solution. And then we describe the extent to which such a globally stable solution persists under non-monotone perturbations.

研究の動機と目的

• 時変でほぼ周期的な制約および摂動を伴うスイーピング過程のための安定性理論の構築。
• 摂動の単調性条件下でのほぼ周期的解の存在およびグローバル指数的安定性の確立。
• 古典的な単調な微分包含を超えた、非単調摂動下での安定性の存続を分析。
• 不斉周期を持つ系、例えば弾塑性ネットワークやパワーエレクトロニクスに応用可能なフレームワークの提供。

提案手法

• 一様に有界なリプシッツ連続な制約および摂動を伴うスイーピング過程に対して、R 上でのグローバル解の存在を証明。単調性の要請は不要。
• f(t,x) における単調性条件から導かれる微分不等式を用いて、解の増分的安定性および一意性を確立。
• グローバル・バーナンの補題を適用して、解の差の指数的減衰を導出し、グローバル指数的安定性を保証。
• C(t) および f(t,x) のほぼ周期性を用いて、単調性下で一意なほぼ周期的解の存在を証明。
• 微分包含および平均化理論の技術を用いて、非単調摂動下でのロバスト性を分析。
• コンパクト性の議論およびR 上での解の収束を用いて、長期的安定性特性を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ周期的で単調な右辺を伴うスイーピング過程は、グローバルに指数的安定なほぼ周期的解を有するか？
• RQ2 このような解の安定性は非単調摂動下でどのように振る舞うか？
• RQ3 制約関数および摂動関数に不斉周期を持つ系は、理論で取り扱えるか？
• RQ4 単調性が緩和された場合に安定性の存続を保証する条件は何か？
• RQ5 結果は状態依存の凸制約やより複雑な力学系へ拡張可能か？

主な発見

• ほぼ周期的で単調な右辺を伴う任意のスイーピング過程は、一意かつグローバルに指数的安定なほぼ周期的解を有する。
• 解の安定性は広範な非単調摂動に対しても保持され、実用的応用におけるロバスト性を保証する。
• 解の差の指数的減衰率は単調性定数 α によって定量的に評価され、‖x₁(t)−x₂(t)‖² ≤ e⁻²α(t−t₀)‖x₁(t₀)−x₂(t₀)‖² が成り立つ。
• 理論は、制約 C(t) と摂動 f(t,x) が異なる不斉周期を持つ系にも適用可能であり、共通周期の必要性を回避する。
• 不連続な右辺を伴う微分包含に、グローバル・バーナンの補題の新規応用に依拠する。
• 既存の均衡点に関する安定性結果を、滑らかでない、非-autonomous 系におけるほぼ周期的解へ一般化する。