[論文レビュー] Global Strong and Weak Solutions to Nematic Liquid Crystal Flow in Two Dimensions

Jinkai Li|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2次元における非一様不圧縮性ネマチック液晶方程式の強解および弱解のグローバル存在を確立する。初期密度が真空中から離れている場合、初期データが正則であるとき、ドメイン拡張法と初期配向場の幾何的制約下でのエネルギー推定を用いてグローバル強解を証明する。弱解は、非負の初期密度（真空を含む場合も含む）に対してコンパクト性の議論により得られる。

ABSTRACT

We consider the strong and weak solutions to the Cauchy problem of the inhomogeneous incompressible nematic liquid crystal equations in two dimensions. We first establish the local existence and uniqueness of strong solutions by using the standard domain expanding method, and then extend such local strong solution to be a global one, provided the initial density is away from vacuum and the initial direction field satisfies some geometric structure. The size of the initial data can be large. Based on such global existence results of strong solutions, by using compactness argument, we obtain the global existence of weak solutions with nonnegative initial density.

研究の動機と目的

• 2次元における非一様不圧縮性ネマチック液晶方程式の初期値問題に対するグローバル強解の確立。
• 初期配向場に幾何的制約を課し、初期密度が正である場合に局所強解をグローバル解に拡張すること。
• 初期密度に真空が含まれる可能性のある初期データに対し、コンパクト性の議論を用いてグローバル弱解を導出すること。
• 配向方程式における超臨界非線形項 $|\nabla d|^2 d$ の挙動を分析すること。
• 非一様系における解の存在に対する厳密な枠組みを提供し、既存の均一系に対する結果を拡張すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^2$ における初期値問題に対して、標準的なドメイン拡張法を用いて局所強解を構成する。
• 高階ノルムと一様有界性を制御するため、エネルギー推定とガリャルド・ニレングラート不等式を用いる。
• 配向場 $d_0$ の幾何的構造を用いて、方程式における非線形項 $|\nabla d|^2 d$ を制御する。
• 近似列における極限に移行するため、コンパクト性の議論（弱収束および強収束）を適用する。
• 近似解の収束を保証するため、$\sqrt{\rho}u$、$\nabla d$、$\nabla u$ に対する一様有界性を確立する。
• リャディエンツィャヤ不等式および $L^p$ 型推定を用いて、$L^{4/3}$ および $L^2$ 空間における非線形項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度が真空中から離れている場合、2次元非一様ネマチック液晶方程式に対してグローバル強解を構成できるか？
• RQ2 初期配向場 $d_0$ にどのような幾何的条件を課すと、強解のグローバル存在が保証されるか？
• RQ3 コンパクト性の手法を用いて、真空を含む初期データに対し弱解を得られるか？
• RQ4 エネルギー推定とソボレフ埋め込みは、配向方程式における超臨界非線形項 $|\nabla d|^2 d$ をどのように制御するか？
• RQ5 初期データの大きさは、特に非一様系においてグローバル解の存在にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 初期密度が真空中から離れており、初期配向場が幾何的構造条件を満たす場合、2次元非一様ネマチック液晶方程式に対してグローバル強解が存在する。
• 初期データの大きさは任意に大きくてもよい。結果は小規模仮定を必要としない。
• エネルギー推定により、$\|\sqrt{\rho}u\|_{L^\infty(0,T;L^2)}$、$\|\nabla d\|_{L^\infty(0,T;L^2)}$、$\|\nabla u\|_{L^2(0,T;L^2)}$ の一様有界性が確立される。
• ガリャルド・ニレングラート不等式およびリャディエンツィャヤ不等式を用いて、$\nabla d$ の $L^4$ ノルムおよび $u$ の $L^2$ ノルムが時間に一様に制御される。
• 非負の初期密度（真空を含む場合も含む）に対し、コンパクト性および弱収束の議論により、グローバル弱解が存在する。
• 極限 $(\rho, u, d)$ は弱い意味で系 (1.1)–(1.5) を満たし、$\sqrt{\rho^j}u^j$ が $L^p(0,T;L^r_{\text{loc}})$ で $\sqrt{\rho}u$ に収束する。ここで $2 < p < \infty$、$1 \leq r \leq 4p/(2p-4)$。