[論文レビュー] Global strong solutions of the full Navier--Stokes and Q-tensor system for nematic liquid crystal flows in 2D: Existence and long-time behavior

Cecilia Cavaterra, Elisabetta Rocca+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 35被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、物理的パrameter ξ が小さいことを仮定しないまま、2次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式とQテンソル系を組み合わせた完全なモデルにおける、グローバルな強い解の存在と一意性を確立する。解は時間に一様に有界であり、漸近的極限は一意に定まり、収束速度の明示的推定値が得られる。

ABSTRACT

We consider a full Navier-Stokes and $Q$-tensor system for incompressible liquid crystal flows of nematic type. In the two dimensional periodic case, we prove the existence and uniqueness of global strong solutions that are uniformly bounded in time. This result is obtained without any smallness assumption on the physical parameter $\xi$ that measures the ratio between tumbling and aligning effects of a shear flow exerting over the liquid crystal directors. Moreover, we show the uniqueness of asymptotic limit for each global strong solution as time goes to infinity and provide an uniform estimate on the convergence rate.

研究の動機と目的

• 2次元周期的領域における完全に結合されたナビエ＝ストークス方程式とQテンソル系のグローバルな適切性（well-posedness）を強解について確立すること。
• 剪切流れにおける整列効果と崩壊効果の比を表す物理的パrameter ξ についての小量仮定を排除すること。
• 解の長時間挙動を解析し、特に時間無限大における漸近的極限の一意性を調べること。
• 解がその漸近的極限に近づく際の収束速度に対する一様推定値を導出すること。
• 一般の初期データおよび物理的パラメータのもとで、解が時間に一様に有界のまま保たれることを示すこと。

提案手法

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式と非線形放物型Qテンソル方程式の完全な結合系を定式化し、異方的応力項と対流拡散項を含む。
• 周期的領域におけるエネルギー推定と部分積分を用いて、解ノルムに対する事前推定を導出する。
• エネルギー恒等式における極めて非線形な項同士の重要なキャンセレーションを特定・利用し、特に応力項とQテンソルの時間発展との間のキャンセレーションに注目する。
• 分子配向をモデル化するため、1定数近似を用いたランドー＝デ・ゲーンズ自由エネルギー関数を用いる。
• 自由エネルギーの変分導関数を用いて分子緩和項 H(Q) を定義し、熱力学的整合性を保証する。
• 非圧縮性条件およびQとH(Q)の対称性を活用し、エネルギー推定における非線形項の簡略化とキャンセレーションを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ ξ が小さいことを仮定しないまま、2次元全ナビエ＝ストークスQテンソル系に対してグローバルな強い解が存在しうるか？
• RQ2 解の長時間挙動はいかなるものか？ 漸近的極限は一意的か？
• RQ3 解がその漸近的極限に近づく際の収束速度に対する一様推定値を導出できるか？
• RQ4 流体速度とQテンソルの時間発展との間の非線形結合は、エネルギー散逸および正則性にどのように影響するか？
• RQ5 エネルギー恒等式内でどのようなキャンセレーションが発生し、強力な非線形性にもかかわらずグローバル存在を可能にするか？

主な発見

• グローバルな強い解は任意の時刻において存在し、パラメータ ξ の大きさに依存せず、H^1ノルムで一様に有界である。
• 各グローバルな強い解について、t → ∞ のときの漸近的極限の一意性が確立される。
• 漸近的極限への収束速度に対する明示的な一様推定値が導出され、時間に伴う代数的減衰が示される。
• エネルギー恒等式における非線形項同士の重要なキャンセレーションが発生する——特に σ, τ, および S(∇u, Q) を含む項の間のキャンセレーションであり、小量仮定なしにグローバル推定を可能にする。
• 系は、時間の経過に伴いQの対称性とトレースゼロ性を保存する。これは物理的モデルの制約と整合的である。
• 対称的かつトレースゼロなテンソルに特有の行列恒等式を巧みに用い、部分積分を慎重に適用することでエネルギー推定が閉じられる。