[論文レビュー] Global theory of one-frequency Schrodinger operators I: stratified analyticity of the Lyapunov exponent and the boundary of nonuniform hyperbolicity

Artur Avila|ArXiv.org|May 25, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 21被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、リャプノフ指数に新たな「階層的解析関数性」枠組みを導入することで、解析的ポテンシャルを有する1周波数シュレーディンガー作用素のグローバル理論を確立した。この理論により、リャプノフ指数がゼロから正に移行する遷移領域（臨界集合）が、高々余次元1であることが証明され、典型的なポテンシャルでは臨界エネルギーの集合が高々可算であり、スペクトル測度において無視可能であることが示された。

ABSTRACT

We study Schrodinger operators with a one-frequency analytic potential, focusing on the transition between the two distinct local regimes characteristic respectively of large and small potentials. From the dynamical point of view, the transition signals the emergence of nonuniform hyperbolicity, so the dependence of the Lyapunov exponent with respect to parameters plays a central role in the analysis. Though often ill-behaved by conventional measures, we show that the Lyapunov exponent is in fact remarkably regular in a ``stratified sense'' which we define: the irregularity comes from the matching of nice (analytic or smooth) functions along sets with complicated geometry. This result allows us to stablish that the ``critical set'' for the transition has at most codimension one, so for a typical potential the set of critical energies is at most countable, hence typically not seen by spectral measures. Key to our approach are two results about the dependence of the Lyapunov exponent of one-frequency $\SL(2,\C)$ cocycles with respect to perturbations in the imaginary direction: on one hand there is a severe ``quantization'' restriction, and on the other hand ``regularity'' of the dependence characterizes uniform hyperbolicity when the Lyapunov exponent is positive. Our method is independent of arithmetic conditions on the frequency.

研究の動機と目的

• 標準的な理解の限界を克服し、解析的ポテンシャルを有する1周波数シュレーディンガー作用素のグローバル理論を構築すること。
• リャプノフ指数がゼロから正に移行する非一様双曲的境界（スペクトル型分類に不可欠な領域）を分析すること。
• 従来の測度では著しく不規則に見えるにもかかわらず、新たな階層的解析関数性の概念を導入することで、リャプノフ指数の正則性を特徴づけること。
• リャプノフ指数がゼロだが非一様双曲的状態に近い状態にある臨界集合が、パラメータ空間において高々余次元1であることを示し、これにより典型的なスペクトル測度がその集合をほとんど検出しないことを見ること。

提案手法

• リャプノフ指数を、複雑な幾何を持つ集合に沿って一致する解析関数の和集合として記述するための、新たな「階層的解析関数性」の概念を導入する。
• SL(2,ℂ)-コアセイルに2つの主要な結果を適用する：虚数方向の摂動における量子化制約、および正のリャプノフ指数下での均一双曲的性質を特徴づけるリャプノフ指数の正則性。
• シュレーディンガー作用素に関連する転送行列コアセイルにこれらの結果を適用し、ポテンシャルの解析性と無理数周波数の性質を活用する。
• アブリ・アンドレ双対性と転送行列の複素拡張を用いて、均一に部分指数的成長を示す準臨界的領域と、非一様成長を示す臨界的領域を区別する。
• コアセイルの加速（位相的次数）を用いて領域を分類し、ゼロのリャプノフ指数と非ゼロの加速が非一様双曲的性質を示すことを証明する。
• 小さな実数摂動におけるリャプノフ指数と加速の上半連続性および連続性を用いて、臨界集合が低余次元部分多様体に含まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的測度では著しく不規則に見えるリャプノフ指数を、どのように正則化できるか？
• RQ2 スペクトル内でリャプノフ指数がゼロである集合（臨界集合）の幾何学的・位相的構造は何か？
• RQ3 準臨界的領域と超臨界的領域の間の遷移（非一様双曲的性質の出現を特徴づける）は、どのようにグローバルに振る舞うか？
• RQ4 臨界集合がスペクトル測度において無視可能であることを示せるか、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 虚数方向の摂動が、リャプノフ指数および加速の振る舞いを制限する役割を果たすか？

主な発見

• リャプノフ指数は「階層的解析関数性」を示し、これは各ストラトゥム上で局所的に解析関数の制限として表され、全体としての関数が解析的でなくても成立する。
• リャプノフ指数がゼロだが非一様双曲的状態に近い状態にある臨界集合は、パラメータ空間において高々余次元1である。
• 典型的な解析的ポテンシャルに対して、臨界エネルギーの集合は高々可算であるため、通常はスペクトル測度で検出されない。
• 虚数方向摂動における加速の量子化は、リャプノフ指数の可能な振る舞いに強く制約を課す。
• 虚数方向におけるリャプノフ指数の正則性は、指数が正のときの均一双曲的性質を特徴づける。
• 周波数に算術的条件を課さないで結果が成り立つため、広範な1周波数シュレーディンガー作用素のクラスに適用可能である。