[論文レビュー] Global Transonic Solutions to Combined Fanno Rayleigh Flows Through Variable Nozzles

Shih-Wei Chou, John M. Hong+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、摩擦と加熱を伴う可変断面ノズルにおける併合Fanno-Rayleigh流れの、トランスオーミックエントロピー解のグローバル存在を、修正されたリーマン解および境界リーマン解を用いた新しい一般化Glimmスキーム（GGS）により確立する。この手法は安定性、速度の正値性、エントロピーの満たしを保証し、ノズルの幾何学的形状、摩擦、加熱の間の定量的関係を示す条件を提示することで、特定のパrameter閾値下でグローバル弱解の存在を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we study the initial-boundary value problem of compressible Euler equations with friction and heating that model the combined Fanno-Rayleigh flows through symmetric variable area nozzles, in particular, the case of contracting nozzles is considered. A new version of a generalized Glimm scheme (GGS) is presented for establishing the global existence of transonic entropy solutions. Modified Riemann and boundary Riemann solutions are applied to design this GGS which obtained by the contraction matrices acting on the homogeneous Riemann (or boundary-Riemann) solutions. The extended Glimm-Goodman wave interaction estimates are investigated for ensuring the stability of the scheme and the positivity of gas velocity that leads to the existence of the weak solution. The limit of approximation solutions serves as an entropy solution. Moreover, a quantitative relation between the shape of the nozzle, the friction, and the heat is proposed. Under this relation, the global existence of weak solution for contracting nozzle is achieved. Simulations of contraction-expansion and expansion-contraction nozzles are presented to illustrate the relevant theoretical results.

研究の動機と目的

• 可変断面ノズルにおける摩擦および加熱を伴う圧縮流体Euler方程式のトランスオーミック解のグローバル存在という、長年の未解決問題を解決すること。
• 非一様断面および音速状態近傍の境界条件を扱えるよう、同次リーマン解に収縮行列を組み込んだ、新たな一般化Glimmスキーム（GGS）の開発。
• ノズル形状、摩擦、加熱の間の十分条件（定量的関係）を確立し、グローバル弱解の存在を保証すること。
• 導出された理論的結果を数値シミュレーションにより検証すること。特に、摩擦および加熱パラメータを変化させた収縮・拡張および拡張・収縮ノズルの挙動を検証する。

提案手法

• 収縮行列を同次リーマン解および境界リーマン解に適用することで、可変断面ノズル内での波の干渉をモデル化する、新たな一般化Glimmスキーム（GGS）を構築する。
• 拡張されたGlimm-Goodman波干渉推定式を用いて、安定性を確保するとともに、気体速度の正値性を維持する。これはトランスオーミック流れの存在にとって不可欠である。
• 系は、断面変化、摩擦（$ \alpha $）、加熱（$ \beta q(x) $）を表す源項を有する双曲型バランス法則 $ U_t + F(U)_x = G(x,U) $ としてモデル化される。
• 初期および境界条件は音速状態の近傍に設定され、$ U_0(x) $ および $ U_B(t) $ は音速遷移曲線 $ \mathcal{T} $ の近傍で定義される。
• 変動断面効果を反映させるために、リーマン問題および境界リーマン問題を修正し、ノズルの幾何学的形状と整合性を保つ。
• グリッドサイズ $ \Delta x = 0.1, 0.05, 0.01, 0.005 $ を用い、$ \alpha $ および $ \beta $ を変化させた数値的シミュレーションを実施し、解の挙動および収束性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摩擦および加熱を伴う収縮ノズルにおける併合Fanno-Rayleigh流れに対して、どのような条件下でグローバルトランスオーミックエントロピー解が存在するか？
• RQ2 一般化Glimmスキームは、非一様断面および音速状態近傍の境界条件を扱えるように、どのように変更可能か？
• RQ3 ノズル形状、摩擦係数 $ \alpha $、加熱パラメータ $ \beta $ の間の定量的関係は、どのようなものであり、それがグローバル弱解の存在を保証するか？
• RQ4 摩擦および加熱は、収縮・拡張および拡張・収縮ノズルにおける衝撃波の伝播および密度、速度、マッハ数の分布にどのように影響を与えるか？
• RQ5 数値的シミュレーションにより、導出された条件下でのトランスオーミック解の理論的存在性および安定性を確認できるか？

主な発見

• 摩擦係数 $ \alpha > 0.066743 $、$ \beta > 0 $ の下で、条件 $$ \max_{x\in[1,10]}\left(\frac{7-\gamma}{3}h_1^+(x)u_0(x) + \frac{4}{3}h_2^+(x)u_0(x) - \frac{\gamma(\gamma-1)}{\rho_0(x)c_0^2(x)}\beta q(x,0)\right) < 0 $$ が満たされる場合、収縮ノズルにおけるグローバルトランスオーミックエントロピー解が存在する。
• 収縮・拡張ノズルでは、$ \alpha > 0.022028 $、$ \beta > 0 $ の下で解はグローバルに定義され、$ \Delta x = 0.1 $ から $ 0.005 $ までで数値収束が観察された。
• 摩擦係数 $ \alpha $ の増加は運動量およびマッハ数を低下させ、密度分布をノズルの左（入口）側に引き寄せる。特に収縮領域で顕著である。
• 加熱係数 $ \beta $ の増加は運動量を低下させるが、全エネルギーおよび圧力を増加させ、密度分布をノズル中心から遠ざける。特に拡張領域で顕著である。
• 数値的シミュレーションにより、衝撃波フロントがノズル内を安定して伝播することが確認され、摩擦が高くなると波速が低下し、加熱が高くなると波速が増加することが観察された。
• 収縮・拡張ノズルと拡張・収縮ノズルの比較において、密度および運動量は収縮領域で高く、拡張領域で低くなることが確認され、物理的直感と整合的である。